\(y^2=-7x+71+24\sqrt{\left(x-1\right)\left(5-x\right)}\\ \)

Mà \(24\sqrt{\left(x-1\right)\left(5-x\right)}\ge0\\ \)

\(y^2\ge-7x+71\ge-35+71=36\\ \)=> \(y\ge6\)

Dấu= xảy ra khi và chỉ khi x=5

Bạn làm vi diệu vậy

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :

\(\left(3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x}\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(x-1+5-x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x}\right)^2\le100\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)\le10\)

Dấu "=" xảy ra :

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{3}=\frac{\sqrt{5-x}}{4}\)

Vậy...

\(a,\dfrac{x^2+x+2}{\sqrt{x^2+x+1}}=\dfrac{x^2+x+1+1}{\sqrt{x^2+x+1}}=\sqrt{x^2+x+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT cosi: \(\left(1\right)\ge2\sqrt{\sqrt{x^2+x+1}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}}=2\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x^2+x+1=1\Leftrightarrow x^2+x=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)

\(A\le\sqrt{\left(3^2+4^2\right)\left(x-1\right)\left(5-x\right)}=10\)

\(A_{max}=10\) khi \(\dfrac{\sqrt{x-1}}{3}=\dfrac{\sqrt{5-x}}{4}\Rightarrow x=\dfrac{61}{25}\)

\(A=3\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\right)+\sqrt{5-x}\ge3\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\right)\ge3\sqrt{x-1+5-x}=6\)

\(A_{min}=6\) khi \(x=5\)

Bài 2 : 

Tìm min : Bình phương 

Tìm max : Dùng B.C.S ( bunhiacopxki )

Bài 3 : Dùng B.C.S

KP9

nói thế thì đừng làm cho nhanh bạn ạ

Người ta cũng có chút tôn trọng lẫn nhau nhé đừng có vì dăm ba cái tích 

đặt \(A=x\sqrt{6-x}+\left(5-x\right)\sqrt{x+1}\)

\(A=\sqrt{x}\sqrt{x\left(6-x\right)}+\sqrt{5-x}\sqrt{\left(5-x\right)\left(x+1\right)}\)

Áp dụng BĐT bunyakovsky :

\(A^2\le\left(x+5-x\right)\left[x\left(6-x\right)+\left(5-x\right)\left(x+1\right)\right]\)

\(A^2\le5\left(-2x^2+10x+5\right)=5\left[-2\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{35}{2}\right]\)

\(A^2\le\frac{5.35}{2}=\frac{175}{2}=87,5\Leftrightarrow A\le\sqrt{87,5}\)

dấu = xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix}x=\frac{5}{2}\\\frac{1}{6-x}=\frac{1}{x+1}\end{matrix}\right.\)<=> x=2,5

vậy Amax=.....

\(A^2=\left(2\sqrt{x-4}+\sqrt{8-x}\right)^2\le\left(2^2+1^2\right)\left(x-4+8-x\right)=20..\)

\(A\le2\sqrt{5}..\)

Bài a, c tìm GTLN thì làm được rồi, chỉ không biết tìm GTNN bằng BĐT như thế nào?
 

Ta có: \(\left(-x^2+4x+21\right)-\left(-x^2+3x+10\right)=x+11>0\Rightarrow B>0\)

\(B^2=\left(x+3\right)\left(7-x\right)+\left(x+2\right)\left(5-x\right)-2\sqrt{\left(x+3\right)\left(7-x\right)\left(x+2\right)\left(5-x\right)}=\left(\sqrt{\left(x+3\right)\left(5-x\right)}-\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}\right)^2+2\ge2\)

\(\Rightarrow B\ge\sqrt{2}\)

GTNN của B là \(\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\)