Lời giải:

PT $\Leftrightarrow x^2-4xy+(5y^2+2y-3)=0$

Dấu "=" tồn tại nghĩa là pt luôn có nghiệm.

$\Leftrightarrow \Delta'=(2y)^2-(5y^2+2y-3)\geq 0$

$\Leftrightarrow -y^2-2y+3\geq 0$

$\Leftrihgtarrow y^2+2y-3\leq 0$

$\Leftrightarrow (y-1)(y+3)\leq 0$

$\Leftrightarrow -3\leq y\leq 1$

$\Rightarrow y_{\max}=1$

\(x^2-4xy+4y^2+y^2+2xy+1-4\)

\(\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2-4\)   > -4

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x-2y=0\\y+1=0\end{cases}< =>\hept{\begin{cases}x=-2\\y=-1\end{cases}}}\)

Ta có :

\(x^2+5y^2+2y-4xy-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+2y+1\right)-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)

Làm nốt :v

\(x^2-4xy+4y^2+y^2+2y+1-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)

Nếu \(y< -3\Rightarrow y+1< -2\Rightarrow\left(y+1\right)^2>4\Rightarrow VT>VP\) (ktm)

\(\Rightarrow y\ge-3\Rightarrow y_{min}=-3\)

\(\Rightarrow\left(x+6\right)^2+4=4\Rightarrow x=-6\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}x=-6\\y=-3\end{matrix}\right.\)

( x - 2y )² + ( y + 1 )² = 4 mà ( x - 2y ) ² ≥ 0 ⇒ 4 - ( y + 1 ) ² ≥ 0 ⇔ - ( y + 3 )( y - 1 ) ≥ 0 chia TH rồi ⇒ y ≥ -3 y_min = -3 ⇒ x = -6

\(x^2+5y^2+2y+4xy-3=0\)
\(\Leftrightarrow\)\((x^2+4xy+4y^2)+(y^2+2y+1)=4\)
\(\Leftrightarrow\)\((x+2y)^2+(y+1)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\)\((x+2y)^2=4-(y+1)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\((x+2y)^2=(2-y-1)(2+y+1)\)
\(\Leftrightarrow\)\((x+2y)^2=(1-y)(3+y)\)
\(Vì \) \((x+2y)^2\geq0\)
\(\Rightarrow\)\((1-y)(3+y)\geq0\)
\(\Rightarrow\)\(\left[\begin{array}{} \begin{cases} 1-y\geq0\\ 3+y\geq0 \end{cases}\\ \begin{cases} 1-y\leq0\\ 3+y\leq0 \end{cases} \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow\)\(\left[\begin{array}{} \begin{cases} y\leq1\\ y\geq-3 \end{cases}\\ \begin{cases} y\geq1\text{(Vô lí)}\\ y\leq-3\text{(Vô lí)} \end{cases} \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow\)\(-3\leq y\leq1\)
\(\text{Mà y là số nhỏ nhất}\)
\(\Rightarrow\)\(y=-3\)
\(\Rightarrow\)\(x+2.(-3)=0\text{ (Vì }(x+2y)^2\geq0)\)
\(\Rightarrow\)\(x=6\)
\(\text{Vậy cặp số (x,y) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: (6;-3)}\)
Nếu mình đúng cho mình xin 1 like nha

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+2y+1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)

\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2\le4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(y+1\right)^2=0\\\left(y+1\right)^2=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=\left\{-1;-3;1\right\}\)

Thế vào pt ban đầu tìm x nguyên tương ứng

\(x^2+5y^2+2y-4xy-3=0\left(1\right)\\ \Leftrightarrow\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+2y+1\right)-4=0\\ \Leftrightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\)

Ta có: \(\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2=4\ge\left(y+1\right)^2\)

Mà \(y\in Z\Rightarrow\left(y+1\right)^2\in Z\Rightarrow\left(y+1\right)^2\in\left\{0;1;4\right\}\)

Với \(\left(y+1\right)^2=0\Rightarrow y+1=0\Rightarrow y=-1\)

Thay y=-1 vào pt (1) ta tìm được \(\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\x=0\end{matrix}\right.\)

Với \(\left(y+1\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y+1=1\\y+1=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=-2\end{matrix}\right.\)

Thay y=0 vào pt (1) ta không tìm được x nguyên 

Thay y=-2 vào pt (1) ta không tìm được x nguyên 

Với \(\left(y+1\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y+1=-2\\y+1=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-3\\y=1\end{matrix}\right.\)

Thay y=-3 vào pt (1) tìm được \(x=-6\)

Thay y=1 vào pt (1) tìm được \(x=2\)

\(x^2+5y^2+2y-4xy-3=0.\)

\(\Rightarrow x^2-4xy+4y^2+y^2+2y-3=0\)

\(\Rightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2-4=0\)

Vậy cặp số x,y nhỏ nhất thỏa mãn là \(\hept{\begin{cases}x-2y=0\\y+1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-2y=0\\y=-1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x+2=0\\y=-1\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow x=-2;y=-1\)

\(x^2+5y^2+2y-4xy-3=0\)

=> \(\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+2y+1\right)-4=0\)

=> \(\left(x-2y\right)^2+\left(y+1\right)^2-2^2=0\)

=> \(\left(x-2y\right)^2+\left(y+1-2\right)\left(y+1+2\right)=0\)

=> \(\left(x-2y\right)^2+\left(y-1\right)\left(y+3\right)=0\)

Mà   \(\left(x-2y\right)^2 \ge 0 \forall x\) 

=> \(\left(y-1\right)\left(y+3\right)\le0\)   Mặt khác \(y-1 < y+3 \)

=> \(\hept{\begin{cases}y-1\le0\\y+3\ge0\end{cases}}\)=> \(-3\le y\le1\)  mà y nhỏ nhất 

=> \(y=-3\)

Thay vào biểu thức, ta có \(\left(x+6\right)^2+\left(-3-1\right)\left(-3+3\right)=0\) => \(\left(x+6\right)^2=0\)  => \(x+6=0\) => \(x=-6\)

    Vậy x=-6 , y=-3

 x² + 5y² + 2y - 4xy - 3 = 0 
<=> x² - 4xy + 4y² + y² + 2y + 1 - 4 = 0 
<=> (x - 2y)² + (y + 1)² = 4 (*) 

VÌ (x -2y)², (y+1)² là các số chính phương nên (*) chỉ có các khã năng: 
* KN1: 
{(x-2y)² = 0 
{(y+1)² = 4 
<=> x = 2y và y+1 = ±2 => x = 2y và y = -3 (do ta chọn y nhỏ nhất nên loại y = 1) 
=> x = -6 và y = -3 

* KN2: 
{(x-2y)² = 4 
{y+1)² = 0 
<=> x - 2y = ±2 và y = -1 > -3 tức là ta chọn nghiêm y = -3 mới nhỏ nhất 

Vậy cặp (x, y) cần tìm là: x = -6; y = -3 

\(x^2+5y^2+2y=4xy+3\)

\(\Leftrightarrow x^2-4xy+5y^2+2y-3=0\) \(\left(a=1,b'=-2y,c=5y^2+2y-3\right)\)

Ta có: \(\Delta'=b'^2-ac=\left(-2y\right)^2-1\left(5y^2+2y-3\right)=4y^2-5y^2-2y+3=-y^2-2y+3\)

PT có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\Leftrightarrow-y^2-2y+3\ge0\Leftrightarrow y^2+2y-3\le0\Leftrightarrow\left(y+1\right)^2-4\le0\Leftrightarrow\left(y+1\right)^2\le4\)

\(\Leftrightarrow-2\le y+1\le2\Leftrightarrow-3\le y\le1\)

Từ đó, ta có: \(y_{min}=-3\), thay vào PT trên, ta có: \(\Delta'=0\)

PT trên có nghiệm kép: \(x=\frac{-b'}{a}=\frac{2y}{1}=2\cdot\left(-3\right)=-6\)

Vậy \(\left(-6;-3\right)\) là cặp số \(\left(x;y\right)\) sao cho y nhỏ nhất thoả mãn điều kiện trên.