(a+b+c)^3 thì viết được thành [(a+b)+c)]^3 rồi AD hằng đẳng thức để tính. Còn với (a^3+b^3+c^3) ta viết được (a+b)^3 -3a^2b -3ab^2 + c^3=(a+b)^3 -3ab(a+b)+c^3 ...thay vào rồi đổi biến

 k bt nhoak

\(\text{Bn hỏi từ từ từng câu 1 thôi}\)

\(\text{Bn hỏi thế ai mà dám làm}\)

~~~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~~

Chí lí 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

 sọ ghi 2 hàng khoogn đc tích tăng lê hiều hàng

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~````

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a^3}{(b+2)(c+3)}+\frac{b+2}{36}+\frac{c+3}{48}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{36.48}}=\frac{a}{4}\)

Tương tự:\(\frac{b^3}{(c+2)(a+3)}+\frac{c+2}{36}+\frac{a+3}{48}\geq \frac{b}{4}\)

\(\frac{c^3}{(a+2)(b+3)}+\frac{a+2}{36}+\frac{b+3}{48}\geq \frac{c}{4}\)

Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn ta có:

\(\frac{a^3}{(b+2)(c+3)}+\frac{b^3}{(c+2)(a+3)}+\frac{c^3}{(a+2)(b+3)}\geq \frac{29}{144}(a+b+c)-\frac{17}{48}\)

Mà cũng theo AM-GM:

\(a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\)

\(\Rightarrow \frac{a^3}{(b+2)(c+3)}+\frac{b^3}{(c+2)(a+3)}+\frac{c^3}{(a+2)(b+3)}\geq \frac{29}{144}(a+b+c)-\frac{17}{48}\geq \frac{29}{144}.3-\frac{17}{48}=\frac{1}{4}\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài 2: Restore : a;b;c không âm thỏa \(a^2+b^2+c^2=1\)

Tìm Min & Max của \(M=\left(a+b+c\right)^3+a\left(2bc-1\right)+b\left(2ac-1\right)+c\left(2ab-1\right)\)

Bài 4: Tương đương giống hôm nọ thôi : V

Bài 5 : Thiếu ĐK thì vứt luôn : V

Bài 7: Tương đương

( Hoặc có thể AM-GM khử căn , sau đó đổi \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\) rồi áp dụng bổ đề vasile)

Bài 8 : Đây là 1 dạng của BĐT hoán vị

@Ace Legona @Akai Haruma @Hung nguyen @Hà Nam Phan Đình @Neet

bđt trái dấu rồi nha!

\(P=\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b^3}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}+\frac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)

+ Áp dụng bđt Cauchy ta có :

\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b+1}{8}+\frac{c+1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\cdot\frac{b+1}{8}\cdot\frac{c+1}{8}}=\frac{3}{4}a\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=b+1\\b=c\end{matrix}\right.\)

+ Tương tự ta c/m đc : \(\frac{b^3}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}+\frac{a+1}{8}+\frac{c+1}{8}\ge\frac{3}{4}b\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b=a+1\\a=c\end{matrix}\right.\)

\(\frac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{a+1}{8}+\frac{b+1}{8}\ge\frac{3}{4}c\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow2c=a+1=b+1\)

Do đó : \(P\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}\) \(\ge\frac{1}{2}\cdot3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

đéo biết

1) \(A=-2x^2-10y^2+4xy+4x+4y+2013=-2\left(x-y-1\right)^2-8\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+2017\le2017\forall x,y\inℝ\)Đẳng thức xảy ra khi x = ³/₂; y = ¹/₂

2) \(A=a^4-2a^3+2a^2-2a+2=\left(a^2+1\right)\left(a-1\right)^2+1\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 1

3) \(N=\left(x-y\right)\left(x-2y\right)\left(x-3y\right)\left(x-4y\right)+y^4=\left(x^2-5xy+4y^2\right)\left(x^2-5x+6y^2\right)+y^4=\left(x^2-5xy+4y^2\right)^2+2y^2\left(x^2-5xy+4y^2\right)+y^4=\left(x^2-5xy+5y^2\right)^2\)(là số chính phương, đpcm)

4) \(a^3+b^3=3ab-1\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)-3ab+1=0\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)^3+1\right]-3ab\left(a+b+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(a+b+1\right)\left(a^2+2ab+b^2-a-b+1\right)-3ab\left(a+b+1\right)=0\Leftrightarrow\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2-ab-a-b+1\right)=0\)Vì a, b dương nên a + b + 1 > 0 suy ra \(a^2+b^2-ab-a-b+1=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=1\)

Do đó \(a^{2018}+b^{2019}=1+1=2\)

5) \(A=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3=3n\left(n^2+5\right)+9\left(n^2+1\right)⋮9\)(Do số chính phương chia 3 dư 1 hoặc 0)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\dfrac{b+1}{8}+\dfrac{c+1}{8}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\cdot\dfrac{b+1}{8}\cdot\dfrac{c+1}{8}}=\dfrac{3a}{4}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\dfrac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\dfrac{c+1}{8}+\dfrac{a+1}{8}\ge\dfrac{3b}{4};\dfrac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\dfrac{a+1}{8}+\dfrac{b+1}{8}\ge\dfrac{3c}{4}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT+\dfrac{2\left(a+b+c+3\right)}{8}\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)

\(\Leftrightarrow VT+\dfrac{2\left(3\sqrt[3]{abc}+3\right)}{8}\ge\dfrac{3\cdot3\sqrt[3]{abc}}{4}\Leftrightarrow VT\ge\dfrac{3}{4}=VP\)

Khi \(a=b=c=1\)

khó

giải câu c nha

xét hiệu:A= \(a^3+b^3+c^3-a-b-c=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\)

Ta có:a³-a=a(a²-1)=a(a-1)(a+1) chia hết cho 6

tương tự :b³-b chia hết cho 6 và c³-c chia hết cho 6

\(\Rightarrow\)A chia hết cho 6

=> a³+b³+c³ -a-b-c chia hết cho 6

mà a³+b³+c³chia hết cho 6 nên a+b+c chia hết cho 6

k cho tớ xog tớ giải hai câu còn lại cho nha

a/ n³ - n = n(n+1)(n-1) đây là ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6