Gọi thương của P(x) khi chi cho (x-2), (x-3) lần lượt là A(x),B(x)               =>P(x)=(x-2).A(x)+5  (1)      và P(x)=(x-3).B(x)=7 (2)                               Gọi thương của P(x) khi chia cho (x-2).(x-3) là C(x) và dư là R(x)           Ta có : (x-2)(x-3) có bậc là 2 =>  R(x) có bậc là 1 => R(x) có dạng ax+b  (a,b là số nguyên )                                                             =>R(x)=(x-2)(x-3).C(x)+ax+b  (3)                                                         thay x=2 vào (1) và (3) ta có: P(x)=2a+b=5                                            thay x=3 vào (2) và (3) ta có: P(x)=3a+b=7                                         => a=2,b=1 =>R(x)=2x+1                                                                      Vậy dư của P(x) khi chia cho (x-2)(x-3) là 2x+1

Gọi thương của phép chia đa thức P(x) cho (x-1 ) và (x-3)  theo thứ thự là A(x) và  B(x) và dư lần lượt là 4 và 14 . 

Ta có :

\(P\left(x\right)=\left(x-1\right).A\left(x\right)+4\forall x\)      (1)

\(P\left(x\right)=\left(x-3\right).B\left(x\right)+14\forall x\) (2)

Gọi thương của phép chia P(x) cho đa thức bậc hai (x-1)(x-3) là C(x) và dư là   R(x) . Vì bậc của R(x) nhỏ hơn bậc 2 nên R(x) có  dạng ax+b . Ta có :

\(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right).C\left(x\right)+\left(ax+b\right)\forall x\)    (3)

Thay x=1 vào (1) và (3) ta có :

\(\hept{\begin{cases}P\left(1\right)=4\\P\left(1\right)=a+b\end{cases}}\)

Thay x=3  vào (2) và (3) ta có :

\(\hept{\begin{cases}P\left(3\right)=14\\P\left(3\right)=3a+b\end{cases}}\)

Từ \(\hept{\begin{cases}a+b=4\\3a+b=14\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=5\\b=-1\end{cases}}\)

Vậy dư của phép chia P(x) cho (x-1) (x-3)  là 5x-1.

Gọi thương của phép chia P(x) cho (x-1)(x-3) lần lượt là A(x) và B(x) số dư lần lượt là 4 và 14 .

\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x-1\right).A\left(x\right)+4\forall x\) (1)

\(P\left(x\right)=\left(x-3\right).B\left(x\right)+14\forall x\) (2)

Gọi thương của phép chia P(x) chia cho đa thức bậc 2 (x-1)(x-3) là C(x) và dư là R(x)

=> P(x) có dạng ax +b .

Ta có : \(P\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-3\right).C\left(x\right)+\left(ax+b\right)\)\(\forall x\) (3)

Thay x=1 vào (1) và (3) ta có :

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\left(1\right)=4\\P\left(1\right)=a+b\end{matrix}\right.\)

Thay x=3 vào (1) và (3) ta có :

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\left(3\right)=14\\P\left(3\right)=a+b\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=4\\3a+b=14\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5\\b=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy dư của P(x) cho (x-1)(x-3 ) là \(5x-1\).