Ta có:\(A=n^3+11n=n^3-n+12n\)

=\(n\left(n^2-1\right)+12n\)

Lại có: \(n^2-1=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+12n\)

Vì tích 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\).

Mà \(12n⋮6\) \(\Rightarrow A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+12n\)\(⋮6\)

\(\Rightarrow A=n^3+11n⋮6\left(đpcm\right)\)

ko cần nữa nh tui nhầm bài OK

Ta có:

\(n^4+6n^3+11n^2+6n\)

\(=n\left(n^3+6n^2+11n+6\right)\)

\(=n\left(n^3+n^2+5n^2+5n+6n+6\right)\)

\(=n\left[n^2\left(n+1\right)+5n\left(n+1\right)+6\left(n+1\right)\right]\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n^2+5n+6\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n^2+3n+2n+6\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left[n\left(n+3\right)+2\left(n+3\right)\right]\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

Vì tích 4 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 24

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\) chia hết cho 24

Bạn ơi, đề đúng k vậy, là 30 hay 30n

30n mk nham

n^3 + 11n = n^3 - n + 12n
=n(n^2 -1 ) + 12n
=n(n-1)(n+1) + 12n

tc: n(n+1)(n+2) là tích 3 số tn liên tiếp chia hết cho 2 và 3 => chia hết cho 6

tc: 12 chia hết cho 6 => 12n chia hết cho 6

=> đpcm

a) A = n/3 + n²/2 + n³/6

A = 2n+3n²+n³/6

A = 2n+2n²+n²+n³/6

A = (n+1)(2n+n²)/6

A = n(n+1)(n+2)/6

Vì n(n+1)(n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3

Mà (2;3)=1 => n(n+1)(n+2) chia hết cho 6

Hay A thuộc Z (đpcm)

b) B = n⁴/24 + n³/4 + 11n²/24 + n/4

B = n⁴+6n³+11n²+6n/24

B = n(n³+6n²+11n+6)/24

B = n(n³+n²+5n²+5n+6n+6)/24

B = n(n+1)(n²+5n+6)/24

B = n(n+1)(n²+2n+3n+6)/24

B = n(n+1)(n+2)(n+3)/24

Vì n(n+1)(n+2)(n+3) là tích 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8 và 3

Mà (8;3)=1 => n(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 24

Hay B nguyên (đpcm)

a) Do n, n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích này chia hết cho 2.

Nếu \(n⋮3\Rightarrow\) tích trên chia hết cho 3. Do (2;3) = 1 nên tích trên chia hết cho 6.

Nếu n chia 3 dư 1 thì 2n chia 3 dư 2 hay 2n + 1 chia hết cho 3. Vậy tích trên chia hết cho 3. Do đó nó cũng chia hết cho 6.

Nếu n chia 3 dư 2 thì n + 1 chia hết cho 3. Vậy tích trên chia hết cho 3. Do đó nó cũng chia hết cho 6.

Tóm lại với mọi số tự nhiên n thì \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮6\)

b. Ta đặt \(A=n^5-5n^3+4n=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n-2\right)\)

Đây là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 và 5.

Trong 5 số tự nhiên liên tiếp thì luôn có hai số chẵn liên tiếp. Tích hai số này lại chia hết cho 8, suy ra A chia hết cho 8.

Lại thấy (3; 5; ;8) = 1 nê A chia hết cho 3.5.8 = 120.

c) \(B=n^4+6n^3+11n^2+6n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

B là tích bốn số tự nhiên liên tiếp nên chia hết 3.

Trong 4 số tự nhiên liên tiếp thì luôn có hai số chẵn liên tiếp. Tích hai số này lại chia hết cho 8, suy ra B chia hết cho 8.

Mà (3;8) = 1 nên B chia hết 3.8 = 24.