Giả sử E, F lần lượt là trung điểm AC, BD.

Theo công thức trung tuyến:

\(\left\{{}\begin{matrix}BE^2=\dfrac{AB^2+BC^2}{2}-\dfrac{AC^2}{4}\\DE^2=\dfrac{CD^2+DA^2}{2}-\dfrac{AC^2}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2+BC^2=2BE^2+\dfrac{AC^2}{2}\\CD^2+DA^2=2DE^2+AC^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB^2+BC^2+CA^2+DA^2\)

\(=2\left(BE^2+DE^2\right)+AC^2\)

\(=4EF^2+BD^2+AC^2\left(đpcm\right)\)

Theo công thức đường trung tuyến:

\(EF^2=\dfrac{EB^2+ED^2}{2}-\dfrac{BD^2}{4}\)

\(=\dfrac{\dfrac{AB^2+BC^2}{2}-\dfrac{AC^2}{4}+\dfrac{CD^2+DA^2}{2}-\dfrac{AC^2}{4}}{2}-\dfrac{BD^2}{4}\)

\(=\dfrac{AB^2+BC^2+CD^2+DA^2}{4}-\dfrac{AC^2}{4}-\dfrac{BD^2}{4}\)

\(\Rightarrow4EF^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-AC^2-BD^2\)

\(\Rightarrow AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4EF^2\)

Tứ giác có thể là hình vuông, chữ nhật phải không bạn?

P/s: Hỏi thôi chớ không trả lời đâu :D

giúp mình với sắp thi rồi

Từ \(2\overrightarrow{ỊJ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\) suy ra 

\(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4IJ^2\Leftrightarrow CB^2+DA^2=CA^2+DB^2+2AB^2.CD^2\)

                                                \(\Leftrightarrow2.\overrightarrow{AB}\overrightarrow{CD}=AD^2-AC^2+BC^2-BD^2\)

a) \(AB^2+CD^2=OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=\left(OA^2+OD^2\right)+\left(OB^2+OC^2\right)=AD^2+BC^2\)b) -Áp dụng định lí:

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng 1 nửa cạnh huyền.

\(OM+ON+OP+OQ=\dfrac{1}{2}AB+\dfrac{1}{2}BC+\dfrac{1}{2}CD+\dfrac{1}{2}DA=\dfrac{1}{2}\left(AB+BC+CD+DA\right)\)