Bài 1 : 

Phương trình <=> 2^x . x² = ( 3y + 1 ) ² + 15

Vì \(\hept{\begin{cases}3y+1\equiv1\left(mod3\right)\\15\equiv0\left(mod3\right)\end{cases}\Rightarrow\left(3y+1\right)^2+15\equiv1\left(mod3\right)}\)

\(\Rightarrow2^x.x^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x^2\equiv1\left(mod3\right)\)

( Vì số  chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 ) 

\(\Rightarrow2^x\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x\equiv2k\left(k\inℕ\right)\)

Vậy \(2^{2k}.\left(2k\right)^2-\left(3y+1\right)^2=15\Leftrightarrow\left(2^k.2.k-3y-1\right).\left(2^k.2k+3y+1\right)=15\)

Vì y ,k \(\inℕ\)nên 2^k . 2k + 3y + 1 > 2^k .2k - 3y-1>0

Vậy ta có các trường hợp: 

\(+\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=1\\2k.2k+3y+1=15\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=8\\3y+1=7\end{cases}\Rightarrow}k\notinℕ\left(L\right)}\)

\(+,\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=3\\2k.2k+3y+1=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=4\\3y+1=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k=1\\y=0\end{cases}\left(TM\right)}}\)

Vậy ( x ; y ) =( 2 ; 0 ) 

Bài 3: 

Giả sử \(5^p-2^p=a^m\)    \(\left(a;m\inℕ,a,m\ge2\right)\)

Với \(p=2\Rightarrow a^m=21\left(l\right)\)

Với \(p=3\Rightarrow a^m=117\left(l\right)\)

Với \(p>3\)nên p lẻ, ta có

\(5^p-2^p=3\left(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\right)\Rightarrow5^p-2^p=3^k\left(1\right)\)    \(\left(k\inℕ,k\ge2\right)\)

Mà \(5\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow5^x.2^{p-1-x}\equiv2^{p-1}\left(mod3\right),x=\overline{1,p-1}\)

\(\Rightarrow5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\equiv p.2^{p-1}\left(mod3\right)\)

Vì p và \(2^{p-1}\)không chia hết cho 3 nên \(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}⋮̸3\)

Do đó: \(5^p-2^p\ne3^k\), mâu thuẫn với (1). Suy ra giả sử là điều vô lý

\(\rightarrowĐPCM\)

a) Ta có: \(2018^n-1964^n⋮3\)

\(2032^n-1984^n⋮3\)

nên An chia hết cho 3

Mà \(2018^n-1984^n⋮17\)

\(2032^n-1964^n⋮17\)

nên An chia hết cho 17

Vậy A chia hết cho 51

b) Ta có: An đồng dư 3^n +2^n-2.4^n (mod5)

và An đồng dư 2^n + 7^n -2^n-4^n (mod9)

Vậy An chia hết cho 45 khi n có dạng 12k

Không ai bt làm::(

Ngồi hóng hóng

Vì số tự nhiên cần tìm có đúng 4 ước là

1; a; b; n và n + 1 = 4.( a + b)

Nên n là ước lớn nhất vì vậy n là chính số cần tìm

Vì số ước số của n là 4 và a; b là 2 ước của n nên n = a.b ( a; b \(\in\) P)

Theo bài ra ta có: a.b  + 1 = 4.(a + b) ⇒  a.b + 1 = 4.a + 4.b

⇒ a.b - 4a = 4b - 1 ⇒ a.(b - 4) = 4b - 1 ⇒ a = \(\dfrac{4b-1}{b-4}\) ⇒ a = 4 + \(\dfrac{15}{b-4}\)

Vì a \(\in\) P nên b - 4  \(\in\) Ư(15)

Lập bảng ta có: 

Theo bảng trên ta có a = 5; b = 19 \(\Rightarrow\) n = 5.19 = 95

Vậy các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là 95.

 Ghi chú thử lại ta có: 95 = 5.19

Ư(95) = 1; 5; 19; 95 (đúng 4 ước ok)

95 + 1 = 96 = 4.( 5 + 19) (ok)

d) Ta có: \(n^2+5n+9⋮n+3\)

\(\Leftrightarrow n^2+3n+2n+6+3⋮n+3\)

\(\Leftrightarrow n\left(n+3\right)+2\left(n+3\right)+3⋮n+3\)

mà \(n\left(n+3\right)+2\left(n+3\right)⋮n+3\)

nên \(3⋮n+3\)

\(\Leftrightarrow n+3\inƯ\left(3\right)\)

\(\Leftrightarrow n+3\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{-2;-4;0;-6\right\}\)

Vậy: \(n\in\left\{-2;-4;0;-6\right\}\)

d) Ta có: 

mà 

nên 

1.

Gọi \(d=ƯC\left(2n^2+3n+1;3n+1\right)\)

\(\Rightarrow2n^2+3n+1-\left(3n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n^2⋮d\Rightarrow2n\left(3n+1\right)-3.2n^2⋮d\)

\(\Rightarrow2n⋮d\Rightarrow2\left(3n+1\right)-3.2n⋮d\Rightarrow2⋮d\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=2\end{matrix}\right.\)

\(d=2\Rightarrow3n+1=2k\Rightarrow n=2m+1\)

\(\Rightarrow n\) lẻ thì A không tối giản

\(\Rightarrow n\) chẵn thì A tối giản

2.

Giả thiết tương đương:

\(xy^2+\dfrac{x^2}{z}+\dfrac{y}{z^2}=3\)

Đặt \(\left(x;y;\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b=3\)

Ta có: \(9=\left(a^2c+b^2a+c^2b\right)^2\le\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(c^2+a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow9\le\left(a^4+b^4+c^4\right)\sqrt{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)^3\ge81\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge3\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{1}{a^4+b^4+c^4}\le\dfrac{1}{3}\)

\(M_{max}=\dfrac{1}{3}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\)