Cho hình vuông ABCD .Trên BC lấy điểm M , trên CD lấy điểm N . Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I. a/ Chứng minh 1/AM2 +1/AK2=1/ AB2; b/ Biết góc MAN =45 độ CM+CN =7cm, CM-CN = 1 cm. Tính diện tích tam giác AMN. c/ Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP,OQ,OR lần lượt vuông góc với IK,AK,AI xác định vị trí điểm O để OP2+OQ2+OR2 

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.

1. Chứng minh: \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AB^2}\)

2. Biết số đo \(\widehat{MAN}=45^o\), CM + CN = 7cm, CM - CN = 1cm. Tính số đo \(\widehat{AMN}=?\)

3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI ( \(P\in IK,Q\in AK,R\in AI\)). Xác định vị trí điểm O để OP² + OQ² + OR² đạt giá trị nhỏ nhất. 

Cho hình vuông ABCD. Trên BC lấy M, trên CD lấy N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.

a) CM : \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AB^2}\)

b) Biết \(\widehat{MAN}\)= 45⁰, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tính số đo góc AMN.

c) Từ diểm O trong tam giác AIK, kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, KA, AI (P, Q, R lần lượt thuộc IK, KA, AI). Xác định vị trí diểm O để OP² + OQ² + OR² đạt GTNN.

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M. Tia AM cắt đường thẳng DC tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I

a) CM:\(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{AB^2}\)(đã làm )

b)Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP,OQ,OR lần lượt vuông góc với IK,AK,AI \(\left(P\in IK,Q\in AK,R\in AI\right)\). Xác định vị trí điểm O để OP²+OQ²+QR² có giá trị nhỏ nhất.

Cho hình vuông ABCD (AB=a) , M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC . Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K . Gọi I là trung điểm cảu đoạn thẳng MK. Tia AI cắt đường thẳng CD tại E . Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N

1, Tứ giác MNKE là hình gì? Chứng minh

2, Cmr :\(AK^2=KC.KE\)

3, Cmr : Khi điểm M di chuyển trên cạnh Bc thì tam giác CME luôn có chu vi không đổi

4, Tia AM cắt đường thẳng CD tại G. Cmr : \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AG^2}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

1. Cho hình thoi ABCD có số đo góc A bằng 120⁰. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Trên tia BC lấy điểm M sao cho  BM=4/3BC. Đường thẳng AM cắt CD tại N. Trên các đoạn thẳng AB, AD lần lượt lấy các điểm E, F sao cho CE//NF. Tính số đo góc EOF

2. Cho điểm D thay đổi trên cạnh BC của tam giác nhọn ABC (D khác B và C). Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC tại điểm N. Cũng từ D kẻ đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB tại điểm M. Tìm vị trí của D để đoạn thẳng MN có độ dài nhỏ nhất.

3.. ABCD là hình chữ nhật có AB //CD, AB = 2CB. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo BD tại H. Trên HB lấy điểm K sao cho HK = HA. Từ K kẻ đường thẳng song song với AH cắt AB tại E. Lấy M trung điểm DE, tia AM cắt DB tại N, cắt DC tại P.

Tính tỷ số diện tích tam giác AND với diện tam giác PMD?