\(2,\\ n=0\Leftrightarrow A=1\left(loại\right)\\ n=1\Leftrightarrow A=3\left(nhận\right)\\ n>1\Leftrightarrow A=n^{2012}-n^2+n^{2002}-n+n^2+n+1\\ \Leftrightarrow A=n^2\left[\left(n^3\right)^{670}-1\right]+n\left[\left(n^3\right)^{667}-1\right]+\left(n^2+n+1\right)\)

Ta có \(\left(n^3\right)^{670}-1⋮\left(n^3-1\right)=\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)⋮\left(n^2+n+1\right)\)

Tương tự \(\left(n^3\right)^{667}⋮\left(n^2+n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow A⋮\left(n^2+n+1\right);A>1\)

Vậy A là hợp số với \(n>1\)

Vậy \(n=1\)

\(3,\)

Đặt \(A=n^4+n^3+1\)

\(n=1\Leftrightarrow A=3\left(loại\right)\\ n\ge2\Leftrightarrow\left(2n^2+n-1\right)^2\le4A\le\left(2n^2+n\right)^2\\ \Leftrightarrow4A=\left(2n^2+n\right)^2\\ \Leftrightarrow4n^2+4n^3+4=4n^2+4n^3+n^2\\ \Leftrightarrow n^2=4\Leftrightarrow n=2\)

Vậy \(n=2\)

\(\Leftrightarrow4n^2-n+12n-3+7⋮4n-1\)

\(\Leftrightarrow4n-1\in\left\{-1;7\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;2\right\}\)

n=2

1/ Gọi ƯCLN( a, b) = d (d số tự nhiên>1)--> 4n + 3 chia hết cho d và 5n + 1 chia hết cho d 
-> 20n + 15 chia hết cho d và 20n + 4 chia hết cho d --> (20n + 15) - (20n + 4) chiahết cho d 
--> 15 - 4 chia hết cho d --> 11 chia hết cho d --> d = 11 (d0 d > 1) 

Gọi ƯCLN(4n+3; 5n+1) là d. Ta có:

4n+3 chia hết cho d => 20n+15 chia hết cho d

5n+1 chia hết cho d => 20n+4 chia hết cho d

=> 20n+15-(20n+4) chia hết cho d

=> 11 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(11)

=> d thuộc {1; -1; 11; -11}

Mà 4n+3 và 5n+1 không nguyên tố cùng nhau

=> d = 11

=> ƯCLN(4n+3; 5n+1) = d

Chúc bạn học tốt

A=\(\frac{4n+1}{2n+3}=\frac{2\left(2n+3\right)-5}{2n+3}=2+\frac{-5}{2n+3}\)

Để A nguyên thì \(\frac{-5}{2n+3}\) phải nguyên

=> \(2n+3\inƯ\left(-5\right)=\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

=> \(n\in\left\{-1;-2;1;-4\right\}\)