Ta có:
\(\sqrt{b-1}=\sqrt{\left(b-1\right).1}\le\frac{b-1+1}{2}=\frac{b}{2}\)

\(\Rightarrow\)  \(a\sqrt{b-1}=\frac{ab}{2}\)  \(\left(1\right)\)

Tương tự, ta cũng có:  \(b\sqrt{a-1}=\frac{ab}{2}\)  \(\left(2\right)\)

Cộng hai bđt trên, suy ra đpcm

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky kết hợp Cauchy ngược dấu ta có:

\((a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1})^2=(\sqrt{a}.\sqrt{ab-a}+\sqrt{b}.\sqrt{ba-b})^2\leq (a+b)(ab-a+ba-b)\)

\(\leq \left(\frac{a+b+ab-a+ba+b}{2}\right)^2=(ab)^2\)

\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)

em cảm ơn cô ạAkai Haruma

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm \(a-1,b-1\)(\(\left(a.b\ge1\right)\):

\(\left(a-1\right)+1\ge2\sqrt{a-1}\Rightarrow\sqrt{a-1}\le\frac{a}{2}\)\(\Leftrightarrow b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}\)

Tương tự: \(a\sqrt{b-1}\le\frac{ab}{2}\)

\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)

\(''=''\Leftrightarrow a=b=2\)

mình mới gửi lên vài câu hỏi toán :vv giúp mình với ạ

mình mới gửi lên vài câu hỏi toán :vv giúp mình với ạ

Bài 1:  (không dùng Cô-si) Bình phương hai vế, ta được:

\(c\left(a-c\right)+c\left(b-c\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\le ab\)

\(ac-2c^2+bc+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\le ab\)

\(0\le\left(ab-ac-bc+c^2\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+c^2\)

\(0\le\left(a-c\right)\left(b-c\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+c^2\)

\(0\le\left(\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}-c\right)^2\)(đúng)

Vậy BĐT đúng.  Xảy ra khi  \(a=b=2c\)

Đặt T là vế trái, áp dụng AM-GM, ta có:

\(a\sqrt{b-1}=a\sqrt{1\left(b-1\right)}\le\dfrac{a.\left(1+b-1\right)}{2}=\dfrac{ab}{2}\)

Tương tự: \(b\sqrt{a-1}\le\dfrac{ba}{2}\)

Cộng vế theo vế 2 BĐT vừa chứng minh, ta được:

\(T\ge\dfrac{ab}{2}+\dfrac{ba}{2}=ab\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=1

\(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\Leftrightarrow\sqrt{a}\sqrt{ab-a}+\sqrt{b}\sqrt{ab-b}\)

\(\le\sqrt{\left(a+b\right)\left(2ab-a-b\right)}\le\frac{a+b-a-b+2ab}{2}=ab\)

BĐT đc chứng minh

\(x=\sqrt{a-1};y=\sqrt{b-1}\) bỏ căn đi viết cho dẽ nhìn

\(x^2=a-1;y^2=b-1\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)y+\left(y^2+1\right)x\le\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(y^2-2y+1\right)+\left(y^2+1\right)\left(x^2-2x+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(y-1\right)^2+\left(y^2+1\right)\left(x-1\right)^2\ge0\)Đúng với mọi x,y => dpcm

Đẳng thức khi x=y=1=> a=b=2

\(VT\le\frac{a\left(b-1+1\right)}{2}+\frac{b\left(a-1+1\right)}{2}=\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab\) ( Cosi ngược dấu ) 

:))