Dễ thấy các số trên là bình phương các số tự nhiên liên tiếp.

Mà các số chính phương đều không tận cùng bằng 2, 3, 7 và 8

Nên chúng chỉ tận cùng bằng 0 ,1 , 4 , 5 , 6 và 9

Xét từng trường hợp nếu chọn các bộ số tận cùng của các số trên được {1,4,5,6} ; {1;4;5;9};  {1;4;6;9} ; {1;5;6;9} và các hoán vị của các bộ số này. Nhận thấy tổng của các phần tử trong mỗi bộ số đều không tận cùng bằng 7

Vậy có điều phải chứng minh

Dễ thấy các số trên là bình phương các số tự nhiên liên tiếp.

Mà các số chính phương đều không tận cùng bằng 2, 3, 7 và 8

Nên chúng chỉ tận cùng bằng 0 ,1 , 4 , 5 , 6 và 9

Xét từng trường hợp nếu chọn các bộ số tận cùng của các số trên được {1,4,5,6} ; {1;4;5;9};  {1;4;6;9} ; {1;5;6;9} và các hoán vị của các bộ số này. Nhận thấy tổng của các phần tử trong mỗi bộ số đều không tận cùng bằng 7

Vậy có điều phải chứng minh

 \(\text{Tổng }=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

Do n(n+1) chỉ có chữ số tận cùng là 0; 2; 6 nên tổng chỉ có tận cùng là 0; 1; 3.

2

H-E-L-P-M-E

 Trước tiên, ta thấy \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)...\left(n+5\right)\) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên tích này chia hết cho 5. Do đó A chia 5 dư 2.

 Ta sẽ chứng minh một số chính phương (bình phương của một số tự nhiên \(k\)) không thể chia 5 dư 2. Thật vậy:

 Nếu \(k⋮5\Rightarrow k^2⋮5\)

 Nếu \(k\) chia 5 dư 1 hay -1 (tức là dư 4) thì đặt \(k=5l\pm1\left(l\inℕ\right)\) \(\Rightarrow k^2=\left(5l\pm1\right)^2=25l^2\pm10l+1\) chia 5 dư 1.

 Nếu \(k\) chia 5 dư 2 hay -2 (tức là dư 3) thì đặt \(k=5l\pm2\left(l\inℕ\right)\) thì \(k^2=\left(5l\pm2\right)^2=25l^2\pm20l+4\) chia 5 dư 4.

 Vậy một số chính phương không thể chia 5 dư 2. Thế nhưng theo cmt, A chia 5 dư 2. Điều này có nghĩa là A không phải bình phương của bất kì số nguyên nào. (đpcm)

nhìn thấy thì chóng mặt

chỉ cần làm 1 trong 8 câu là đủ rồi

A=(n+1)n:2

Mà n(n+1) tận cùng là 0,2,6

Nên A t/c khác 2,4,7,9 vì khi nhân 2 lên thì t/c là 4,8,4,8 khác với 0,2,6

Ta có công thức: \(A=1+2+...+n=\frac{\left(n+1\right).n}{2}\)

Mà n(n + 1) chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 2, 6 nên A chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 3, 5, 6, 8.

Vậy A không thể có tận cùng là chữ số 2, 4, 7, 9.

Tổng A có n số hạng nên

A= 1+ 2+ 3 +...+n = (n+1)xn : 2

lại có: nx(n+1) là tích 2 STN liên tiếp nên nx(n+1) chỉ có thể có tận cùng là 0, 2 hoặc 6

Vì thế nên (n+1)xn : 2 chỉ có thể có tận cùng là 0; 5; 1; 6; 3 hoặc 8

Vậy tổng A=1+2+...+n không thể có tận cùng là 2,4,7,9

Tổng A có n số hạng nên A= 1+ 2+ 3 +...+n = (n+1)xn : 2 lại có: nx(n+1) là tích 2 STN liên tiếp nên nx(n+1) chỉ có thể có tận cùng là 0, 2 hoặc 6 Vì thế nên (n+1)xn : 2 chỉ có thể có tận cùng là 0; 5; 1; 6; 3 hoặc 8 Vậy tổng A=1+2+...+n không thể có tận cùng là 2,4,7,9