???????????????loằng ngoằng quá. Tui không hỉu cái GTNN

GTNN là tắt của giá trị nhỏ nhất, 

Trong bài này bạn biến đổi sao cho biểu thức \(P\ge a\)   (số a là số biết trước) 

VD: Bạn đưa về dạng nào đó của biểu thức mà nó luôn lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{3}\) Bạn có thể viết \(P\ge\dfrac{1}{3}\) thì GTNN của \(P=\dfrac{1}{3}\)  hay \(minP=\dfrac{1}{3}\)

Tìm được GTNN rồi thì bạn tìm ẩn để dấu "=" xảy ra, nghĩa là để BĐT xảy ra dấu =, lúc đó biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất,

 VD như: \(minP=\dfrac{1}{3}\) <=> Dấu = xảy ra

                                  <=> x = b (x là ẩn và b là biết trước)

Ở một số bài có thể cho điều kiện của ẩn.

đề sai

sai là sai thế nào

Áp dụng BĐT cosi, ta có

\(\sqrt{3a+1}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4\left(3a+1\right)}\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{4+3a+1}{2}=\dfrac{3a+5}{4}\)

CMTT, ta có \(\sqrt{3b+1}\le\dfrac{3b+5}{4};\sqrt{3c+1}\le\dfrac{3c+5}{4}\)

Từ đó suy ra \(K\le\dfrac{3\left(a+b+c\right)+15}{4}=6\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Vậy...

ta có BĐT \(\sqrt{3a+1}\ge\dfrac{a\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+1\)

\(\Leftrightarrow a\left(3-a\right)\ge0đúng\forall a\)

CMRTT, ta có

\(\sqrt{3b+1}\ge\dfrac{b\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+1\)

\(\sqrt{3c+1}\ge\dfrac{c\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+1\)

Do đó \(K\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+3=\sqrt{10}+2\)

Dấu "=" xảy ra khi a=3, b=c=0

Vậy...

\(P=1\sqrt{a-1}+1\sqrt{b-2}+1\sqrt{c-3}\le\dfrac{1}{2}\left(1+a-1+1+b-2+1+c-3\right)=3\)

\(P_{max}=3\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;3;4\right)\)

\(P^2=a+b+c-6+2\left(\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-2\right)}+\sqrt{\left(a-1\right)\left(c-3\right)}+\sqrt{\left(b-2\right)\left(c-3\right)}\right)\)

\(P^2\ge a+b+c-6=3\)

\(P\ge\sqrt{3}\)

\(P_{min}=\sqrt{3}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;6\right);\left(1;5;3\right);\left(4;2;3\right)\)

thầy giải thích thêm phần dấu bằng xảy ra của phần tìm giá trị nhỏ nhất được không ạ

\(3x^2+2xy+3y^2=\left(x+y\right)^2+2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)^2=2\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{2}\left(a+b\right)+\sqrt{2}\left(b+c\right)+\sqrt{2}\left(c+a\right)\)

\(A\ge2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\ge\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=6\sqrt{2}\)

\(A_{min}=6\sqrt{2}\) khi \(a=b=c=1\)

Ta có \(3a+1\ge\left(\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\right)^2\Leftrightarrow a\left(3-a\right)\ge0\) (luôn đúng)

Do đó \(\sqrt{3a+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\).

Tương tự, \(\sqrt{3b+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}b+1;\sqrt{3c+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}c+1\).

Do đó \(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\ge\sqrt{10}+2\).

Dấu "=" xảy ra khi chẳng hạn a = 3; b = c = 0

Tham khảo:

https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=219071991005&q=Cho%203%20s%E1%BB%91%20th%E1%BB%B1c%20kh%C3%B4ng%20%C3%A2m%20a%2Cb%2Cc%20v%C3%A0%20a%20b%20c%3D3%20T%C3%ACm%20GTLN%20v%C3%A0%20GTNN%20c%E1%BB%A7a%20bi%E1%BB%83u%20th%E1%BB%A9c%20K%3D%5C%28%5Csqrt%7B3a%201%7D%20%5Csqrt%7B3b%201%7D%20%5Csqrt%7B3c%201%7D%5C%29

\(\frac{2\left(a+b\right)}{\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+\sqrt{4b\left(3b+a\right)}}\) \(\ge\frac{2\left(a+b\right)}{\frac{4a+3a+b}{2}+\frac{4b+3b+a}{2}}=\frac{2\left(a+b\right)}{\frac{8\left(a+b\right)}{2}}=\frac{1}{2}\)

dau = xay ra khi a=b