a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)

Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2

b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)

Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)

Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)

đề đúng , giải sai kìa ...

Liên tục áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) và ta có:

\(\frac{1}{3x+3y+2x}=\frac{1}{2\left(x+y\right)+\left(x+y+2z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2\left(x+y\right)}+\frac{1}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\right)\le\frac{1}{8\left(x+y\right)}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)

Chứng minh tương tự tạ có:

\(\frac{1}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{8\left(z+x\right)}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\)

\(\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{8\left(y+z\right)}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\)

Suy ra \(VT\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{1}{4}\)

mơn ạ

Bài của lớp 7 ghê vậy!!

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x,y,z

ta có bổ đề \((a+b+c)({1\over a}+{1\over b}+{1\over c})\)  >  9

Áp dụng vào ta có

\(D*({2x+y+z\over x}+{2y+x+z\over y}+{2z+y+x\over z})\)  >9(1)

Ta có \({2x+y+z\over x}+{2y+x+z\over y}+{2z+y+x\over z}\) =\(2+{y+z\over x}+2+{z+x\over y}+2+{y+x\over z}\)=\(6-3+{y+z\over x}+1+{z+x\over y}+1+{y+x\over z}+1\)=\(3+{x+y+z\over x}+{y+x+z\over y}+{z+y+x\over z}\)=\(3+(x+y+z)({1\over x}+{1\over y}+{1\over z})\)  >  3+9=12

thay vào(1)

Ta có \(D \) <  \({9\over 12}\)=\({3\over 4}\) 

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z 

=> ĐPCM

áp dụng bất đẳng thức phụ : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\frac{x}{2x+y+z}=\frac{x}{x+y+x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)

\(\frac{y}{2y+x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}\right)\)

\(\frac{z}{2z+x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)

cộng vế theo vế

\(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{2y+z+x}+\frac{z}{2z+x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{1}{4}\cdot3=\frac{3}{4}\)(đpcm)