Lời giải:

Dễ thấy: \(A>\sqrt[3]{60}>\sqrt[3]{27}=3\)

Để cm \(A< 4\) ta sử dụng quy nạp:

Ta thấy \(A_1=\sqrt[3]{60}< \sqrt[3]{64}=4\)

\(A_2=\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60}}< \sqrt[3]{60+\sqrt[3]{64}}=4\)

.....

Giả sử nhận định đúng đến \(n=k\), tức là:

\(A_k=\underbrace{\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+....+\sqrt[3]{60}}}}_{\text{k số 60}}<4\)

Ta thấy \(A_{k+1}=\underbrace{\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+...+\sqrt[3]{60}}}}}_{\text{k+1 số 60}}=\sqrt[3]{60+A_k}\)

\(<\sqrt[3]{60+4}\Leftrightarrow A_{k+1}< 4\), tức là nhận định đúng với cả $n=k+1$

Do đó \(A< 4\)

Vậy $3< A< 4$. Theo định nghĩa phần nguyên suy ra \([A]=3\)

\(A=\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+...}}\Rightarrow A^3=60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+..}}\)
\(\Leftrightarrow A^3=60+A\Leftrightarrow A^3-A-60=0\Leftrightarrow\left(A-4\right).\left(A^2+4A+15\right)=0\)
\(\Rightarrow A=4\)==' cái này là sấp xỉ thôi

T cũng tham gia cho vui nhé ☺

Thay số cuối bằng 64, rút gọn ra 4 nên A<4

Hiển nhiên A> căn bậc 3 của 27=3

Do đó 3<A<4 nên phần nguyên của A là 3

A > \(\sqrt[3]{27}\)=3

 A <  \(\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+...+\sqrt[3]{60+4}}}}\) = 4

Chúc bạn có 1 ngày vui vẻ!!!

Bài này bảo tính phần nguyên đúng ko -,- [A] 

\(A=\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60}+...+\sqrt[3]{60}}}\)

\(A>\sqrt[3]{27}=3\) \(\left(1\right)\)

\(A< \sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+...+\sqrt[3]{64}}}}=4\) \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(3< A< 4\) nên phần nguyên của A là 3 

Chúc bạn học tốt ~ 

\(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\left(2\sqrt{5}-3\right)}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\left(\sqrt{5}-1\right)}=\sqrt{1}=1\)

\(A=\sqrt[3]{8-\sqrt{60}}+\sqrt[3]{8+\sqrt{60}}\) xem lại đề con này

\(A=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\left(2\sqrt{3}+1\right)}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{3}-1}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)

\(=\frac{2\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{2\left(\sqrt{3}+1\right)}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}=1\)