* Ta có: BH ⊥ DE (gt)

CK ⊥ DE (gt)

⇒ BH // CK hay tứ giác BHKC là hình thang

Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của DE

* Trong tam giác BDC vuông tại D có DM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.

⇒ DM = 1/2 BC (tính chất tam giác vuông)

* Trong tam giác BEC vuông tại E có EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.

⇒ EM = 1/2 BC (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: DM = EM nên ΔMDE cân tại M

MI là đường trung tuyến nên MI là đường cao ⇒ MI ⊥ DE

Suy ra: MI // BH // CK

BM = MC

Suy ra: HI = IK (tính chất đường trung bình hình thang)

⇒ HE + EI = ID + DK

Mà EI = ID nên EH = DK

Vì BD, CE là đường cao của tam giác ABC nên

do đó Δ BDC vuông tại D, Δ CEB vuông tại E.

Gọi M là trung điểm của BC

⇒ DM, EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của Δ BDC và Δ CEB.

Áp dụng tính chất của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác trên ta được:

Từ giả thiết ta có tứ giác BHKC là hình thang vuông nên vẽ MI ⊥ DE thì BH//MI//CK ( 1 ) (vì cùng vuông góc với đường thẳng DE)

Mà ta có BM = MC ( 2 ) (do ta vẽ hình trên)

Từ ( 1 ),( 2 ) suy ra BH, MI, CK là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng HK hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là HI = IK ( 3 ).

Áp dụng tính chất của đường cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân MDE ta được:

EI = ID ( 4 )

Trừ theo vế đẳng thức ( 3 ) cho ( 4 ), ta được: HE = DK.

Vì BD, CE là đường cao của tam giác ABC nên do đó Δ BDC vuông tại D, Δ CEB vuông tại E.

Gọi M là trung điểm của BC

⇒ DM, EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của Δ BDC và Δ CEB.

Áp dụng tính chất của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác trên ta được:

⇒ DM = EM ⇒ Δ MDE cân tại M.

Từ giả thiết ta có tứ giác BHKC là hình thang vuông nên vẽ MI ⊥ DE thì BH//MI//CK    ( 1 ) (vì cùng vuông góc với đường thẳng DE)

Mà ta có BM = MC    ( 2 ) (do ta vẽ hình trên)

Từ ( 1 ),( 2 ) suy ra BH, MI, CK là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng HK hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là HI = IK    ( 3 ).

Áp dụng tính chất của đường cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân MDE ta được:

EI = ID    ( 4 ).

Trừ theo vế đẳng thức ( 3 ) cho ( 4 ), ta được: HE = DK.

a) Chứng minh DK = 1/2 BC:

b) Chứng minh KI vuông góc với ED:

c) Chứng minh AM vuông góc với OM:

Với các chứng minh trên, ta đã chứng minh được a), b) và c).

a: ΔDBC vuông tại D

mà DK là trung tuyến

nên DK=1/2BC

b: ΔEBC vuông tại E có EK là trung tuyến

nên EK=1/2BC

=>KE=KD

ΔKED cân tại K

mà KI là đường trung tuyến

nên KI vuông góc ED

Bài 1:

a: Ta có: ΔBKC vuông tại K

mà KM là đường trung tuyến

nên KM=BC/2(1)

Ta có: ΔBHC vuông tại H

mà HM là đường trung tuyến

nên HM=BC/2(2)

Từ (1)và (2) suy ra MH=MK

hay ΔMHK cân tại M

b: Kẻ MN vuông góc với HK

=>N là trung điểm của HK

Xét hình thang CBDE có

M là trung điểm của BC

MN//DB//EC

DO đó: N là trung điểm của DE

=>DK=HE