Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC), gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MA lấy D sao cho DM=MA, trên tia đối cảu CD lấy điểm I sao cho CI=CA. qua I kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E

a) CMR: AE=BC 

b) tam giác ABC cần điều kiện nào để HE lớn nhất. vì sao??

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{ab}{6+a-c}=\frac{ab}{a+b+c+a-c}=\frac{ab}{2a+b}\)

\(=\frac{ab}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a}+\frac{ab}{a}+\frac{ab}{b}\right)=\frac{1}{9}\left(2b+a\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{bc}{6+b-a}\le\frac{1}{9}\left(2c+b\right);\frac{ca}{6+c-b}\le\frac{1}{9}\left(2a+c\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\le\frac{1}{9}\cdot3\left(a+b+c\right)=\frac{1}{3}\cdot\left(a+b+c\right)=\frac{6}{3}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=2\)

Ch0 a>0 và n là 1 số tự nhiên

Chứng minh rằng an+1an−2⩾n2(a+1a−2)

Lời giải:

Bất đẳng thức tương đương với (an−1+an−2+...+a+1)≥n2an−1 (hiển nhiên theo AM-GM)

Cách khác:

Do tính đối xứng giữa a và 1a nên ta có thể giả sử a ≥ 1.  đặt √a =x ≥ 1.bdt ⇔ x2n+1x2n−2≥n2(x2+1x2−2)⇔(xn−1xn)2≥n2(x−1x)2⇔x^{n}-\frac{1}{x^{n}}\geq n(x-\frac{1}{x})$①.

Với x=1 thì ① đúng

Với x>1 thì ① ⇔xn−1+xn−3...+1xn−3+1xn−1≥n (đúng vì theo bđt AM-GM).

Dấu bằng xảy ra khi x=1 ⇔a=1

đáp án là 24

\(abc=1\) nên tồn tại các số dương x;y;z sao cho \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(\dfrac{y}{x+2y}+\dfrac{z}{y+2z}+\dfrac{x}{z+2x}\le1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2y}{x+2y}-1+\dfrac{2z}{y+2z}-1+\dfrac{2x}{z+2x}-1\le2-3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{x+2y}+\dfrac{y}{y+2z}+\dfrac{z}{z+2x}\ge1\)

Điều này đúng do:

\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz}+\dfrac{z^2}{z^2+2xz}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1\)

e cảm ơn ạ

vì a-b+c => 3-3+3=3 và 1/3+1/3+1/3=3/3=1         =>a,b,c=3