Quy tắc chia hết cơ bản: với các số nguyên dương ta luôn có \(a^n-b^n\) chia hết \(a-b\)

Do đó \(199^x-2^x⋮197\)

\(\Rightarrow p^y⋮197\Rightarrow p⋮197\) (do 197 là số nguyên tố)

\(\Rightarrow p=197\)

Pt trở thành: \(199^x-2^x=197^y\)

- Với \(x=1\Rightarrow y=1\)

- Với \(x=2\Rightarrow199^2-2^2=197.201\) chia hết 201, trong khi \(197^y\) ko chia hết cho 201 (ktm)

- Với \(x\ge3\) \(\Rightarrow2^x⋮8\)

TH1: Nếu x lẻ \(\Rightarrow\)\(199^x\equiv-1\left(mod8\right)\Rightarrow199^x-2^x\equiv-1\left(mod8\right)\) 

+ \(y\) chẵn \(\Rightarrow197^y\equiv5^y\left(mod8\right)\equiv5^{2k}\left(mod8\right)\equiv25^k\left(mod8\right)\equiv1\left(mod8\right)\) (ktm)

+ \(y\) lẻ \(\Rightarrow197^y\equiv5^{2k+1}\left(mod8\right)\equiv5.25^k\left(mod8\right)\equiv5\) (mod8) (ktm)

 TH2:\(x\) chẵn \(\Rightarrow199^x\equiv1\left(mod8\right)\Rightarrow199^x-2^x\equiv1\left(mod8\right)\)

+ \(y\) lẻ \(\Rightarrow\) tương tự TH1 ta có \(197^y\equiv5\left(mod8\right)\) (ktm)

\(\Rightarrow y\) chẵn

Khi x;y cùng chẵn, ta có \(199^x\equiv1\left(mod3\right)\) và \(2^x\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow199^x-2^x⋮3\Rightarrow197^y⋮3\) (vô lý)

Vậy với \(x\ge3\) ko tồn tại bộ số nguyên dương nào thỏa mãn 

Hay có đúng 1 bộ số thỏa mãn yêu cầu: \(\left(x;y;p\right)=\left(1;1;197\right)\)

Vì 12p ⋮ 3 nên x²-3xy+p²y² ⋮ 3 mà -3xy ⋮ 3 nên x²+p²y² ⋮ 3 kết hợp với tính chất 1 số chính phương chỉ chia 3 dư 0 hoặc 1 nên nếu tổng 2 chính phương ⋮ 3 thì cả 2 số⋮ 3. Từ đó x² và p²y² mà đây là 2 bình phương và 3 là số nguyên tố nên x² và p²y² ⋮ 9. Vì x²⋮ 9 nên x ⋮ 3 từ đó 3xy ⋮cho 9. Qua đó x²-3xy+p²y² ⋮ 9. Ta có 12p= 4.3p mà (4,9)=1 nên 3p ⋮ 9 từ đó p ⋮ 3 mà p là số nguyên tố nên p = 3. 
=> x²-3xy+p²y² =12p <=> x²-3xy+9y² =36 áp dụng bất đẳng thức Cô si x²+y² ≥ 2xy với mọi x,y => x²+9y²≥2.x.3y=6xy => 36≥6xy-3xy=3xy =>12≥xy mà x,y là số nguyên dương nên x.y ≥1 nên 12≥xy≥x.1=x
Ta có x²+(-3xy)+9y² chẵn mà đây là tổng 3 số nguyên nên tồn tại 1 số chẵn
nếu x chẵn =>  x²+(-3xy) chẵn => 9y² chẵn mà (9,2)=1 nên y chẵn ta cmtt với y. Từ đó suy ra cả x và y đều chẵn, kết hợp với 12≥x,x⋮3 và x nguyên dương => x∈{6,12} thay x vào x²-3xy+9y² =36 ta tìm được các cặp (x,y) là (6,0);(6,2);(12,6) 
Vậy các cặp (x,y,p) cần tìm là (6,0,3);(6,2,3);(12,6,3)