a) Xét tam giác ABC có F là trung điểm AB; E là trung điểm AC

=> EF là đường trung bình tam giác ABC=> EF//=1/2 BC (1)

Tương tự : MN là đường trung bình tam giác GBC

=> MN//=1/2 BC(2)

(1) (2)=> MN//=EF

=> MNEF là hình bình hành

b) Để hình bình hành MNEF là hình chữ nhật thì FN=ME

Ta có: G là giao điểm của 2 đường chéo hình bình hành MNEF 

=> G là trung điểm FN và là trung điểm ME

=> GF=GN (3)

Mà G là giao điểm 2 đường trung tuyến trong tam giác ABC

=> G là trọng tâm tam giác ABC

=> FG=1/3CF (4)

(3),(4)=> FN=2/3CF

Chứng minh tương tự suy ra ME=2/3BE

Để MNEF là hình chữ nhật thì FN =ME khi đó CF=BE 

Mà CF=BE => tam giác ABC cân tại A  (bước làm tắt cần phải chứng minh tam giác cân tại A)

Vậy điều kiện để  MNEF là hình chữ nhật  là tam giác ABC cân tại A..

Ta có hình vẽ:

a/ Ta có: M là trung điểm BG

F là trung điểm AB

=> MF là đường trung bình

=> MF = 1/2 AG và MF // AG (1)

Ta có: N là trung điểm CG

E là trung điểm của AC

=> NE là đường trung bình

=> NE = 1/2 AG và NE // AG (2)

Từ (1) và (2) => MF // NE và MF = NE

Vậy MNEF là hình bình hành

b/ Để MNEF là hình chữ nhật thì

ME = NF => MG = NG => BE = CF

hay tam giác ABC cân tại A

Ôi.... Bn trả lời hết thế này thì còn chỗ nào cho bn mk trả lời nữa...-_-

a. trong tam giác cân 2 đường trung tuyến ở góc đáy bằng nhau nên CF=BE (1)

vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GC=2/3 FC ;BG= 2/3 BE (2)

tu 1 va 2 suy ra CG=BG

suy ra tam giác BGC cân tại G

c. Xet tam giac AMB va tam giac AMC co

                       AB=AC

                      ABC=ACB

                      AM chung

    suy ra tam giac AMB= tam giac AMC 

suy ra MB=MC

Suy ra AM la trung tuyen

suy ra G thuộc đường thẳng AM

Suy ra A,G,M thẳng hàng

b. tren tia doi FE lay diem K sao cho EK=EF

xet tg AEF = tg CEK ( c.g.c )

suy ra BA song song KC, AF=FB=KC

nối B với K

xet tam giac FBK = tg CKB ( c.g.c )

suy ra FE song song BC

bán xoi tam  3 câu trước đi nhé để mik suy nghĩ câu d

câu d mik chứng minh phản chứng nếu bạn thấy sai chỗ nào bảo mik nhé

Vì G là trọng tâm nên GE=1/3BE suy ra 3GE=BE

TH1: nếu AE>3GE suy ra AE>BE

suy ra EC>BE 

suy ra gEBC>gECB ( vô lý vì gECB=gEBC )

TH2: AE=3GE suy ra AE=BE

suy ra EC=BE

suy ra tg EBC can tai E

suy ra gEBC=gECB ( vo ly vi gECB=gFBC )

vay AE<3GE 

Hì mik cùng bằng lớp bạn nên thấy mik làm sai thì chỉ bảo mik nha

bạn vẽ hình ra giấy rồi xem bài mình nhé

a) vì MF ; NE lần lượt là đường trung bình của tg BGA và CGA

=> MF // NE và MF = NE

=> FENM là hbhành

b) Nếu MNEF là hcn

=> FN = ME

mà FN = 2/3 FC ; EM = 2/3 BE

=> BE = CF

tg ABC có BE và CF là 2 đường trung tuyến ứng với cạnh AC và AB bằng nhau

=> tg ABC cân ở A

Ta chứng minh được \(FI;KE\) là đtb tam giác AGB;AGC

Do đó \(FI=KE=\dfrac{1}{2}AG;FI//KE\left(//AG\right)\)

Vậy FEKI là hbh

Lời giải:
Vì $E, F$ lần lượt là trung điểm của $AC, AB$ nên $EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$

$\Rightarrow EF=\frac{1}{2}BC$ và $EF\parallel BC$ (1)

Vì $K, I$ lần lượt là trung điểm $GC, GB$ nên $KI$ là đtb của tam giác $GBC$ ứng với cạnh $BC$

$\Rightarrow KI=\frac{1}{2}BC$ và $KI\parallel BC$ (2)

Từ $(1); (2)$ suy ra $EF\parallel KI$ và $EF=KI$

Tứ giác $FEKI$ có 2 cạnh đối $EF, KI$ song song và bằng nhau nên là hbh. Ta có đpcm.

Hình vẽ: