Đặt Q là thương của phép chia . Vì đây là phép chia hết nên ta có phương trình

5x⁴+5x³+x²+11x+a = (x²+x+b)Q . Mà vế trái là đa thức bậc 4 nên khi chia cho đa thức bậc 2 thì thương có dạng Q = mx²+nx+h 

( với m,n,h là hệ số của đa thức )

=>  5x⁴+5x³+x²+11x+a = (x²+x+b)(mx²+nx+h)

<=>5x⁴+5x³+x²+11x+a = mx⁴+ nx³ + hx² + mx³ + nx² + hx + bmx² + bnx + bh

                                   = mx⁴ + (m+n)x³ + (h+n+bm)x² + (h+bn)x + bh

Mà theo nguyên tắc hai vế bằng nhau thì hệ số của bậc nào bằng hệ số bậc cùng bậc bên vế kia .

=> m = 5 

     m+n = 5 => n = 0

     h+bn = 11 => h = 11

     h+n+bm = 1 => b = -2

     bh = a = -22

Vậy a = -22 ; b = -2 ; Q = 5x²+11

                                                         x⁴-30x²+31x-30 = 0 

<=> x⁴ + ( x³ - x³ ) + ( x² - x² - 30x² ) + ( 30x + x ) -30 = 0

<=> ( x⁴ + x³ - 30x² ) + ( -x³ - x² + 30x ) + ( x² + x - 30 ) =0

<=> x².( x² + x - 30 ) - x.( x² + x - 30 ) + ( x² + x - 30 )  = 0

<=>                       ( x² + x - 30 )( x² - x + 1 )               = 0 

<=>                       ( x² + x - 30 )( x - 5 )( x + 6 )           = 0 

Vì  x² + x - 30 =  x² + x + \(\frac{1}{4}\) - \(\frac{121}{4}\) = ( x + \(\frac{1}{2}\) )² - \(\frac{121}{4}\) \(\ge\)- \(\frac{121}{4}\) 

=> x - 5 = 0 hoặc x + 6 = 0 

=>      x = 5 hoặc      x = -6

Vậy tập nghiệm S = { -6 ; 5 }

Đặt phép chia ta tìm được dư cuối cùng là (3+b +a -6b -1) x + 2 - (a -6b -1). b

Để phép chia trên là phép chia hết thì dư cuối cùng là 0

suy ra các hệ số của đa thức dư đều =0, tức là 2 +a -5b = 0  (1) và 2 -(a -6b -1). b = 0 (2)

Từ (1)  suy ra a = 5b -2, thay vào (2) và rút gọn ta được b²+3b +2 = 0 suy ra b = -1 hoặc b = -2

Với b = -1 suy ra a = -7;  Với b =-2 suy ra a = -12. Bài toán có 2 đáp số