Ace Legona Bạn mà ko giải được thì còn ai giải đc nữa mà hỏi

Em làm bên olm rồi nhưng lười gõ lại nên sẽ gửi link và chụp màn hình:D Đây là bài IMO 2001 chứ ko tầm thường đâu.

Link gốc: Câu hỏi của IMO 2001 - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Đặt \(P=\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+abc}}\)

\(=\frac{a^2}{a\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b^2}{b\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c^2}{c\sqrt{c^2+abc}}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ca}+c\sqrt{c^2+8ab}\right)}\)(Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức)

Ta có: 

Suy ra 

Ta cần chứng minh \(a^3+b^3+c^3+24abc\le\left(a+b+c\right)^3\)

\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\ge6abc\)

Đúng vì \(a^2b+b^2c+c^2a\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\); \(ab^2+bc^2+ca^2\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Từ đó suy ra \(\left(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ca}+c\sqrt{c^2+8ab}\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ca}+c\sqrt{c^2+8ab}\right)}\ge1\)

Vậy \(=\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+abc}}\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

IMO, 2001

Đặt \(x=\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\left(x;y;z\in\left(0;1\right)\right)\)

Để ý rằng \(\frac{a^2}{8bc}=\frac{x^2}{1-x^2};\frac{b^2}{8ac}=\frac{y^2}{1-y^2};\frac{c^2}{8ba}=\frac{z^2}{1-z^2}\)

=> \(\frac{1}{512}=\left(\frac{x^2}{1-x^2}\right)\left(\frac{y^2}{1-y^2}\right)\left(\frac{z^2}{1-z^2}\right)\)

Ta cần chứng minh \(x+y+z\ge1\)với \(x;y;z\in\left(0;1\right)\)và \(\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right)=512\left(xyz\right)^2\left(1\right)\)

Giả sử ngược lại x+y+z<1

Theo BĐT AM-GM ta có:

\(\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right)>\left[\left(x+y+z\right)^2-x^2\right]\left[\left(x+y+z\right)^2-y^2\right]\left[\left(x+y+z\right)^2-z^2\right]\)

\(=\left(x+x+y+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y+z+y\right)\left(z+x\right)\left(z+z+x+y\right)\left(x+y\right)\)

\(\ge4\left(x^2yz\right)^{\frac{1}{4}}\cdot2\left(yz\right)^{\frac{1}{2}}\cdot4\left(y^2zx\right)^{\frac{1}{4}}\cdot2\left(xz\right)^{\frac{1}{2}}\cdot4\left(z^2xy\right)^{\frac{1}{4}}\cdot2\left(xy\right)^{\frac{1}{2}}=512\left(xyz\right)^2\)

Điều này mâu thuẫn với (1)

Vậy điều phản chứng là sai và ta có đpcm

Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:

\(\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\right)\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\right)\left(a\left(a^2+8bc\right)+b\left(b^2+8ca\right)+c\left(c^2+8ab\right)\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\).

Do đó ta chỉ cần chứng minh \(\left(a+b+c\right)^3\ge a\left(a^2+8bc\right)+b\left(b^2+8ca\right)+c\left(c^2+8ab\right)\Leftrightarrow3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge24abc\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\). Đây là một bđt rất quen thuộc

Không Holder thì Svacxo nha :v

Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(\dfrac{a^2}{a\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b^2}{b\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c^2}{c\sqrt{c^2+8ab}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}}\)

Ta có sẽ đi chứng minh :

\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}\le\left(a+b+c\right)^2\)

Thật vậy theo Bunhiacopxki có :

\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}=\sqrt{a}\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^3+8abc}\)

\(\le\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3+24abc\right)}\)

Ta lại đi chứng minh :

\(a^3+b^3+c^3+24abc\le\left(a+b+c\right)^3\)

\(\Leftrightarrow24abc\le3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) ( Đây là BĐT đúng )

Do đó nhân vào ta có đpcm.

Đây là bài IMO 2001 và không cần điều kiện \(a+b+c=1\)

Áp dụng Holder:

\(P.P.\left[a\left(a^2+8bc\right)+b\left(b^2+8ac\right)+c\left(c^2+8ab\right)\right]\ge\left(a+b+c\right)^3\)

\(\Leftrightarrow P^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{a^3+b^3+c^3+24abc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{a^3+b^3+c^3+24abc}\)

\(\Rightarrow P^2\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3+3.2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}}{a^3+b^3+c^3+24abc}=1\)

\(\Rightarrow P\ge1\)

Đặt vế trái của bất đẳng thức là M

Đấu đề bổ sung = 3 nhé

Xíu mk giải cho