mong  bạn nào biết thì giúp minh

a+b+1 = 111..11_(2n) +444...44_(n) + 1 =111...11_(n).10ⁿ + 111...11_(n) +4.111..11_(n) +1

                                                       = 111...11_(n).(10ⁿ-1)  +6.111..11_(n) +1 

                                                      = 333...33²_(n) +2.333...33_(n) +1  = ( 333.....3_(n)+1)²   dpcm

Đặt 111....1<n chữ số 1> là k
Ta có: 111......1<2n chữ số 1>=k.10^n + k
Vì :10^n = 9k + 1
11......1<2n chữ số 1>= k.<9k + 1> +k = 9k^2+k+k = 9k^2 + 2k
Ta có 444........4<n chữ số 4>=4k
vậy a+b+1= 9k^2 +2k+4k+1 = <3k>^2 +2.3k.1 +1^2 = <3k +1>^2
Vậy a+b+1 là một số chính phương

Đặt 111....1<n chữ số 1> là k
Ta có: 111......1<2n chữ số 1>=k.10^n + k
Vì :10^n = 9k + 1
11......1<2n chữ số 1>= k.<9k + 1> +k = 9k^2+k+k = 9k^2 + 2k
Ta có 444........4<n chữ số 4>=4k
vậy a+b+1= 9k^2 +2k+4k+1 = <3k>^2 +2.3k.1 +1^2 = <3k +1>^2
Vậy a+b+1 là một số chính phương

ta có: A=11..1  +    44..4+1

              2n c/s 1    n c/s 4

biến đổi \(A=111..1+4.11...1+1\)

\(A=\frac{10^{2n}-1}{9}+4.\frac{10^n-1}{9}+1=\frac{10^{2n}+4.10^n+4}{9}\)

\(A=\frac{\left(10^n+2\right)^2}{9}=\frac{\left(10..02\right)^2}{9}=\left(3...34\right)^2\)  luôn là 1 số chính phương(đpcm)

bn tự bổ sung thêm những chỗ mk viết thiếu'... chữ số' nhé

                                                         n-1 c/s 3

Bài 1:
Đặt \(\underbrace{111....1}_{1009}=t\Rightarrow 9t+1=10^{1009}\)

Ta có:

\(a+b+1=\underbrace{11...11}_{1009}.10^{1009}+\underbrace{11...1}_{1009}+4.\underbrace{11....1}_{1009}+1\)

\(=t(9t+1)+t+4.t+1=9t^2+6t+1=(3t+1)^2\) là scp.

Ta có đpcm.

Bài 2:
Đặt \(\underbrace{111....1}_{n}=t\Rightarrow 9t+1=10^n\)

Ta có:

\(a+b+c+8=\underbrace{111..11}_{n}.10^n+\underbrace{111....1}_{n}+\underbrace{11...1}_{n}.10+1+6.\underbrace{111...1}_{n}+8\)

\(t(9t+1)+t+10t+1+6t+8=9t^2+18t+9\)

\(=(3t+3)^2\) là scp.

Ta có đpcm.

C = 4.111...1    +     2.111...1      +     8.111...1    +    7 

        2n c/s 1            n + 1 c/s 1           n c/s 1 

Đặt 111...1 (n c/s 1) = a => 999..9 (n c/s 9) = 9a => 999...9 + 1 = 9a + 1 => 10ⁿ = 9a + 1

=> 111...1 (2n c/s 1) = 111...1000..0 + 111...1  = 111...1.10ⁿ + 111...1 = a.(9a + 1) + a = 9a² + 2a

111...1 (n + 1 c/s 1) = 111...10 + 1 = 111...1.10 + 1 = a.10 + 1 = 10a + 1

Vậy C = 4.(9a² + 2a) + 2.(10a + 1) + 8.a + 7 = 36a² + 36a + 9 = (6a + 3)² = (666..6 + 3)² = 666...69² (n - 1 c/s 6)

Vậy C là số chính phương

C=44444.....4444000.......0000 +4444......444+2.10ⁿ⁺¹+222......2222222+8........8 +7

     |n cs 4|             |n cs 0|             |n cs 4|                    |n cs 2|               |n cs 8|

=444.....44.10ⁿ+4.1111.....11+20.10ⁿ+2.1111....111+8.1111....111+7

=1111.....111.(4.10ⁿ+4+2+8)+20.10ⁿ+7

Bí :v

C = 4.111...1 + 2.111...1 + 8.111...1 + 7

        2n c/s        1 n + 1 c/s     1 n c/s 1

Đặt 111...1 (n c/s 1) = a => 999..9 (n c/s 9) = 9a

                                          => 999...9 + 1 = 9a + 1 => 10ⁿ = 9a + 1

 => 111...1 (2n c/s 1) = 111...1000..0 + 111...1 = 111...1.10ⁿ + 111...1 = a.(9a + 1) + a = 9a² + 2a 111...1 (n + 1 c/s 1)

                                     = 111...10 + 1 = 111...1.10 + 1 = a.10 + 1 = 10a + 1

Vậy C = 4.(9a² + 2a) + 2.(10a + 1) + 8.a + 7 = 36a² + 36a + 9 = (6a + 3)² = (666..6 + 3)² = 666...69² (n - 1 c/s 6)

Vậy C là số chính phương

C = 4.111...1    +     2.111...1      +     8.111...1    +    7 

        2n c/s 1            n + 1 c/s 1           n c/s 1 

Đặt 111...1 (n c/s 1) = a => 999..9 (n c/s 9) = 9a => 999...9 + 1 = 9a + 1 => 10ⁿ = 9a + 1

=> 111...1 (2n c/s 1) = 111...1000..0 + 111...1  = 111...1.10ⁿ + 111...1 = a.(9a + 1) + a = 9a² + 2a

111...1 (n + 1 c/s 1) = 111...10 + 1 = 111...1.10 + 1 = a.10 + 1 = 10a + 1

Vậy C = 4.(9a² + 2a) + 2.(10a + 1) + 8.a + 7 = 36a² + 36a + 9 = (6a + 3)² = (666..6 + 3)² = 666...69² (n - 1 c/s 6)

Vậy C là số chính phương

=\(\frac{44}{13}\)