Ta có:
2^100 = ﴾2^10﴿^10 = 1024^10
10^30 = ﴾10^3﴿^10 = 1000^10
Vì 1024^10 > 1000^10 nên 2^100 > 10^30  ﴾1﴿
Lại có:
2^100 = 2^31.2^63.2^6 = 2^31.512^7.64
và 10^31 = ﴾2.5﴿^31 = 2^31.5^31 = 2^31.5^28.5^3 = 2^31.625^7.125
Vì 2^31.512^7.64 < 2^31.625^7.125 nên 2^100 < 10^31﴾2﴿
Từ ﴾1﴿ và ﴾2﴿ => 2^100 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số
Vậy số 2^100 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số ﴾đpcm﴿

NHỚ TK MK NHA,MK ĐANG ÂM ĐIỂM

bạn ơi ko hiểu đoạn 2^100=2^31.2^63.2^6 = 2^31.512^7.64

Ta có \(2^{100}=\left(2^{10}\right)^{10}=1024^{10}>1000^{10}=\left(10^3\right)^{10}=10^{30}\).

Ta chứng minh \(2^{100}< 10^{31}\Leftrightarrow\dfrac{1024^{10}}{1000^{10}}< 10\).

Ta có \(\dfrac{1024^{10}}{1000^{10}}< \dfrac{1025^{10}}{1000^{10}}=\left(\dfrac{41}{40}\right)^{10}\).

Dễ thấy \(\dfrac{41}{40}< \dfrac{40}{39}< ...< \dfrac{32}{31}\Rightarrow\left(\dfrac{41}{40}\right)^{10}< \dfrac{41}{40}.\dfrac{40}{39}...\dfrac{32}{31}=\dfrac{41}{31}< 10\Rightarrow\dfrac{1024^{10}}{1000^{10}}< 10\).

Do đó \(2^{100}\) viết trong hệ thập phân có 31 chữ số.

Ta có:

2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = 1024¹⁰

10³⁰ = (10³)¹⁰ = 1000¹⁰

Vì 1024¹⁰ > 1000¹⁰ nên 2¹⁰⁰ > 10³⁰ (1)

Lại có:

2¹⁰⁰ = 2³¹.2⁶³.2⁶ = 2³¹.512⁷.64

và 10³¹ = (2.5)³¹ = 2³¹.5³¹ = 2³¹.5²⁸.5³ = 2³¹.625⁷.125

Vì 2³¹.512⁷.64 < 2³¹.625⁷.125 nên 2¹⁰⁰ < 10³¹ (2)

Từ (1) và (2) => 2¹⁰⁰ viết trong hệ thập phân có 31 chữ số

Vậy số 2¹⁰⁰ viết trong hệ thập phân có 31 chữ số (đpcm)

Ta có:2¹⁰=1024>10³=>2¹⁰⁰>10³⁰ (1)

Mặt khác: 2¹⁰=1024<1025=>2¹⁰⁰<1025¹⁰

=>\(\frac{2^{100}}{10^{30}}=\left(\frac{2^{10}}{10^3}\right)^{10}<\left(\frac{1025}{10^3}\right)^{10}=\left(\frac{41}{40}\right)^{10}\)

Ta đã biết:Nếu 0<b<a thì ab+b<ab+a

=>b(a+1)<a(b+1)

=>\(\frac{a+1}{b+1}<\frac{a}{b}\) (*)

Áp dụng (*) ta có: \(\frac{41}{40}<\frac{40}{39}<\frac{39}{38}<...<\frac{32}{31}<\frac{31}{30}\)

do đó \(\frac{2^{100}}{10^{30}}=\left(\frac{41}{40}\right)^{10}<\frac{40}{39}.\frac{39}{38}....\frac{32}{31}.\frac{31}{30}=\frac{4}{3}<2\)

=>2¹⁰⁰<2.10³⁰  (2)

Từ (1);(2)=>10³⁰<2¹⁰⁰<2.10³⁰

=>2¹⁰⁰ có tất cả 31 chữ số,nếu viết trong hệ thập phân thì 2¹⁰⁰ có 30 chữ số

1=101 số

Để ý rằng 4^5 = 1024 nên ta có : 10^3 < 4^5 < 11.10^2 
---> 10^15 < 4^25 < (11^5).10^10 < 200000.10^10 = 2.10^15 
---> 10^30 < 4^50 < 4.10^30 < 10^31 ---> 4^50 có 31 chữ số. 
---> 4^50 = m.10^30 (với 1 < m < 4) 

Lại để ý rằng (4^50)(25^50) = 100^50 = 10^100 
---> 25^50 = 10^100 / 4^50 = (10.10^99) / (m.10^30) = (10/m).10^69 
Vì 1 < m < 4 ---> 2,5 < 10/m < 10 
---> 25^50 = (10/m).10^69 có 70 chữ số. 
---> Đáp án bài này là 31 + 70 = 101 chữ số. 
 

k cho mình nhé chép mạng đó