Date cái hình ra đây đã, bài này "dễ" không ấy mà:))

Bài làm:

Ta có: 

\(S_{AHB}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BD\) , mà \(\sin\widehat{BHD}\cdot BH=\frac{BD}{BH}\cdot BH=BD\)

=> \(S_{AHB}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BH\cdot\sin\widehat{BHD}\left(1\right)\)  

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BE\) , mà \(\sin\widehat{ECB}\cdot BC=\frac{BE}{BC}\cdot BC=BE\)

=> \(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot\sin\widehat{ECB}\left(2\right)\)

Dễ dàng CM được: Δ BDH ~ Δ BEC (g.g) => \(\widehat{BHD}=\widehat{ECB}\Rightarrow\sin\widehat{BHD}=\sin\widehat{ECB}\)

Chia vế (1) cho (2) ta được:

=> \(\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}=\frac{AH\cdot BH}{BC\cdot AC}=\frac{AH}{BC}\cdot\frac{BH}{AC}\) 

Tương tự ta CM được: \(\frac{S_{CHA}}{S_{ABC}}=\frac{CH}{AB}\cdot\frac{AH}{BC}\) và \(\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}=\frac{BH}{AC}\cdot\frac{CH}{AB}\)

Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được: \(\frac{S_{AHB}+S_{AHC}+S_{BHC}}{S_{ABC}}=\frac{AH}{BC}\cdot\frac{BH}{CA}+\frac{AH}{BC}\cdot\frac{CH}{AB}+\frac{BH}{AC}\cdot\frac{CH}{AB}\)

=> \(\frac{AH}{BC}\cdot\frac{BH}{CA}+\frac{AH}{BC}\cdot\frac{CH}{AB}+\frac{BH}{AC}\cdot\frac{CH}{AB}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Tiếp theo ta CM bất đẳng thức phụ: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\) (nhân 2 vào cả 2 vế)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\left(\forall a,b,c\right)\) luôn đúng

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

Từ đó ta áp dụng vào CM bài toán: 

\(\left(\frac{AH}{BC}+\frac{BH}{CA}+\frac{CH}{AB}\right)^2\ge3\left(\frac{AH}{BC}\cdot\frac{BH}{CA}+\frac{AH}{BC}\cdot\frac{CH}{AB}+\frac{BH}{CA}\cdot\frac{CH}{AB}\right)=3\cdot1=3\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{BC}+\frac{BH}{CA}+\frac{CH}{AB}\ge\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{AH}{BC}=\frac{BH}{CA}=\frac{CH}{AB}\Rightarrow AH=BH=CH\)

=> Tam giác ABC đều

a) Xét 2 tam giác vuông DHC và FBC có: ^HCD chung => \(\Delta DHC~\Delta FBC\)

=> \(\frac{CD}{CF}=\frac{CH}{BC}\) => \(CH.CF=BC.CD\) (1) 

tương tự với 2 tam giác vuông DBH và EBC có: ^EBC chung => \(\Delta DBH~\Delta EBC\)

=> \(\frac{BD}{BE}=\frac{BH}{BC}\) => \(BH.BE=BC.BD\) (2) 

(1) và (2) => \(CH.CF+BH.BE=BC\left(BD+CD\right)=BC^2\)

b) CM tương tự câu a), ta cũng có: \(AH.AD+BH.BE=AB^2;AH.AD+CH.CF=AC^2\)

cộng lại ta có đpcm 

Câu hỏi của Minh Nguyễn Cao - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo tại link trên nhé!

k minh minh giai

giúp mik vs 

hứa sẽ k nếu đúng và đầy đủ