1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện $$20abc<30(ab+bc+ca)<21abc$$ - Số học - Diễn đàn Toán học

2. [LỜI GIẢI] Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số < - Tự Học 365

Dễ thấy c là số chẵn (1)

\(\overline{abc}=4c\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow100a+10b+c=4c\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow9\left(11a+b\right)+\left(a+b\right)+c=3c\left(a+b\right)^2+c\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow c\left[\left(a+b\right)^2-1\right]-\left(a+b\right)=9\left(11a+b\right)-3c\left(a+b\right)^2\)

\(\Rightarrow c\left[\left(a+b\right)^2-1\right]-\left(a+b\right)⋮3\)

Xét \(\left(a+b\right)\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow c\left[\left(a+b\right)^2-1\right]-\left(a+b\right)\equiv-1\left(mod3\right)\)

Xét \(\left(a+b\right)\equiv-1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow c\left[\left(a+b\right)^2-1\right]-\left(a+b\right)\equiv1\left(mod3\right)\)

Xét \(\left(a+b\right)\equiv0\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow c⋮3\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow c=6\)

\(\Rightarrow\overline{abc}⋮3\)

\(\Rightarrow a+b+6⋮3\)

\(\Rightarrow a+b⋮3\)

Mà ta có:

\(a+b=\sqrt{\frac{\overline{ab6}}{24}}\le\sqrt{\frac{996}{24}}\le6\)

Tới đây đơn giản làm nốt nhé

Gợi ý: Giả sử \(c\le d\)

Ta có: \(0< a+b\le18\)

\(\Leftrightarrow0< cd\le18\)

\(\Rightarrow c^2\le cd\le18\)

\(\Rightarrow0< c\le4\)

Thế c = 1 vào ta được

\(\hept{\begin{cases}a+b=d\\1+d=ab\end{cases}}\)

\(\Rightarrow1+a+b=ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=2\)

\(\Rightarrow\left(a-1,b-1\right)=\left(1,2;2,1\right)\)

\(\Rightarrow\left(a,b\right)=\left(2,3;3,2\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}d=4\\d=2\end{cases}\left(l\right)}\)

Tương tự các trường hợp còn lại

100\(\le\)\(n^2\)-1=\(\overline{abc}\)\(\le\)999

\(\Rightarrow\)100<101\(\le\)\(n^2\)=\(\overline{abc}\)+1\(\le\)1000

\(\Rightarrow\)\(10^2\)<\(n^2\)<\(32^2\)\(\Rightarrow\)10<n<32

\(\overline{abc}\)-\(\overline{cba}\)=\(n^2\)-1-\(n^2\)+4n-4

\(\overline{abc}\)-\(\overline{cba}\)=(\(n^2\)-\(n^2\))+4n-1-4

\(\overline{abc}\)-\(\overline{cba}\)=0+4n-5

(100.a+10.b+c)-(100c+10b+a)=4n-5

99a-99c=4n-5

\(\Rightarrow\)4n-5\(⋮\)99(1)

Vì 10<n<32\(\Rightarrow\)35<4n<123(2)

Từ (1) và(2) \(\Rightarrow\)4n-5=99

\(\Rightarrow\)n=99+5 :4 =26

\(\overline{abc}\)=\(26^2\)-1

\(\overline{abc}\)=675

\(\overline{cba}\)=576

abc = một trong các số có 3 chữ số

OK

Biến đổi đến 6c -5a = b tách b trừ c bằng 5 lần c trừ a suy ra b trừ c chia hết cho 5, 

b >6,a <c lần lượt thay b bằng 7, 8, 9 tìm được c bằng 2, 3, 4 và a băng 1,2,3

Vì a,b,c khác nhau đôi một

A =      \(\overline{abc}\) + \(\overline{cba}\) 

A = 100a + 10b +c + 100c +  10b + a

A =   100( a +c) + (c+a) + 20b

A = (a+c) (100 +1) + 20b

A = 9.101 + 20b

A = 909 + 20b

Để A là một số có 3 chữ số thì A \(\le\) 999

\(\Leftrightarrow\) 909 + 20b \(\le\) 999

\(\Leftrightarrow\) 20b \(\le\) 90

\(\Leftrightarrow\)b \(\le\) 9/2

\(\Leftrightarrow\) b \(\in\) { 0; 1; 2; 3; 4}

Theo bài ra, ta có:

=n² -1

(100a+10b+c)=n² -1 (100c+10b+a)=n²-4n+4

(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=(n² -1)-(n²-4n+4)

=>99a-99b=n²-1-n²+4n-4

99.(a-c)=4n-5

=> 4n-5 chia hết cho 99

4n-5 thuộc {0;99;198;297;396;495;594;693;....}

4n thuộc {5;104;203;302;401;500;...}

n thuộc {26;125;...}

vì nhỏ nhất nên n nhỏ nhất

=> n=26

=>=675

nhớ ticks cho mình nha

Ta có :

abc = 100a+10b+c (1)

cba = 100c+10b+a (2)

Thay (2) vào (1) ta được :

99( a - c ) = 4n - 5

=> 4n-5 \(⋮\) 99

Vì 100 \(\le\) abc \(\le\) 999 nên :

100 \(\le\) \(n^2-1\)\(\le\) 999 =>101 \(\le\) \(n^2-1\) \(\le\) 1000 => 11 \(\le\) 31 đến 39 \(\le\) 4n - 5 \(\le\) 119

Vì 4n - 5 \(⋮99\) nên :

n =26 ; abc = 675