Bài 1: Rút gọn biểu thức:

\(A=\frac{a^3-3a+\left(a^2-1\right)\sqrt{a^2-4}-2}{a^3-3a+\left(a^2-1\right)\sqrt{a^2-4}+2}\left(a>2\right)\)

\(B=\sqrt{\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)^2}}}\left(ab\ne0\right)\)

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:

\(E=\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2017\sqrt{2018}+2018\sqrt{2017}}\)

Bài 3: Chứng minh rằng các biểu thức sau có gúa trị là số nguyên

\(A=\left(\sqrt{57}+3\sqrt{6}+\sqrt{38}+6\right)\left(\sqrt{57}-3\sqrt{6}-\sqrt{38}+6\right)\)

\(B=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)

Điền số thích hợp vào chỗ chấm

a) \(\frac{16}{3}:....=\frac{50}{12}:\left(-0,06\right)\) d) \(0,944-2\times........=3,268\)

b) \(\left(2\times......-1\right)^3=-8\) e )\(\sqrt{\frac{0,09}{25}}\)\(=-\frac{4,7}{5}+........\)

c) \(\frac{\left(0,8\right)^5}{\left(0,4\right)^6}=.......\) g) \(\sqrt{5^2-3^2}\)\(=-\sqrt{81}\)\(-.........\)

1 Rút gọn:

a) A=\(\frac{\sqrt[]{2+\sqrt[]{3}}}{4}+\sqrt[]{\frac{2-\sqrt[]{3}}{16}}+\frac{1}{\sqrt[]{3}+\sqrt[]{2}+1}\)

b)\(\left(\sqrt[]{a+\sqrt[]{a^2-8}}\right).\left(\sqrt[]{a-2\sqrt[]{2}}-\sqrt[]{a+2\sqrt[]{2}}\right),a>=2\sqrt[]{2}\)

2.Cho x= \(\sqrt[]{2-\sqrt[]{3}}.\left(\sqrt[]{6}+\sqrt[]{2}\right)-\frac{2\sqrt[]{6}+\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{8}+1}\). Tính A= \(x^5-3x^4-3x^3+6x^2-20x+2022\)

3. Cho a,b,c >0, \(\frac{a}{a+b}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\). CMR: \(\frac{\left(a+b\right)^3}{c^3}+\frac{\left(b+c\right)^3}{a^3}+\frac{\left(a+c\right)^3}{b^3}+24\)

Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng$:$

$$ \frac 1{8 + 5(b^2 + c^2)} + \frac 1{8 + 5(c^2 + a^2)} + \frac 1{8 + 5(a^2 + b^2)}\le \frac 1{6},$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $a=b=\frac{c}{13}$ và các hoán vị.

Ji Chen đưa ra một kiểu SOS rất khủng$:$

$\frac{11664}{5}\left(\frac{1}{6}-\sum{\frac{1}{8+5b^2+5c^2}}\right)\prod{\left(8+5b^2+5c^2\right)}$

$=23050\prod{(b-c)^2}+\sum{\Big\{\left(a^2-bc\right)\left[5\left(66-7\sqrt{34}\right)-25\left(2-3\sqrt{34}\right)a\right]}$

${-(a-1)\left[75\sqrt{34}a^2+15\left(18+5\sqrt{34}\right)a+6\left(23-5\sqrt{34}\right)\right]\Big\}^2}\geq 0.$

Mặt khác bài này rất hay và có nhiều kiểu SOS đẹp, mọi người thử tìm xem$?$

Hay thậm chí là những cách giải khác ngoài SOS cho bài này$?$