b )bạn sai đề câu b rồi đề phải thế này cmr với mọi số tự nhiên n thì ƯCLN(21n+4,14n+3)=1

                        GIẢI

gọi ưcln(21n+4,14n+3)là d

khi đó ta có 

21n+4chia hết cho d và 14n+3 chia hết cho d

=>2(21n+4)chia hết cho d và 3(14n+3)chia hết cho d

=>42n+8 chia hết cho d và 42n +9chia hết cho d

=>42n+9-42n+8chia hết cho d

=>1chia hết cho d 

=>d=1

vậy............

B nào giải câu a đi 

làm tắt quá. 

ko cần đổi 1 thành 5^0

`M=(5^2018+1)/(5^2017+1)`

`1/5M=(5^2017+1/5)/(5^2017+1)`

`1/5M=1-(4/5)/(5^2017+1)`

Tương tự:

`1/5N=1-(4/5)/(5^2016+1)`

`5^2017+1>5^2016+1`

`=>(4/5)/(5^2017+1)<(4/5)/(5^2016+1)`

`=>1-(4/5)/(5^2017+1)>1-(4/5)/(5^2016+1)`

`=>1/5M>1/5N=>M>N`

\(M=\dfrac{5^{2018}+1}{5^{2017}+1}=5-\dfrac{4}{5^{2017}+1}\)

\(N=\dfrac{5^{2017}+1}{5^{2016}+1}=5-\dfrac{4}{5^{2016}+1}\)

mà \(-\dfrac{4}{5^{2017}+1}>-\dfrac{4}{5^{2016}+1}\)

nên M>N

\(B=\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5^4}+.....+\frac{1}{5^{2018}}+\frac{1}{5^{2019}}\)

\(\Rightarrow5B=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+.......+\frac{1}{5^{2017}}+\frac{1}{5^{2018}}\)

\(\Rightarrow5B-B=1-\frac{1}{5^{2019}}\)

\(\Rightarrow4B=1-\frac{1}{5^{2019}}\)

\(\Rightarrow B=\frac{1-\frac{1}{5^{2019}}}{4}< \frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)

a/

\(A=5\left(1+11+111+...+111...1\right)\) (1999 chữ số 1)

\(A=5\left(\dfrac{10-1}{9}+\dfrac{100-1}{9}+\dfrac{1000-1}{9}+...+\dfrac{1000...0-1}{9}\right)\) (1999 chữ số 0)

\(A=5\left(\dfrac{10+10^2+10^3+...+10^{1999}-1999}{9}\right)\)

Đặt 

\(B=10+10^2+10^3+...+10^{1999}\)

\(10B=10^2+10^3+10^4+...+10^{2000}\)

\(9B=10B-B=10^{2000}-10\)

\(B=\dfrac{10^{2000}-10}{9}=\dfrac{10\left(10^{1999}-1\right)}{9}=\dfrac{10.999...9}{9}=10.111...1\) (1999 chữ số 1)

\(\Rightarrow A=5\left(\dfrac{10.111...1-1999}{9}\right)\) (1999 chữ số 1)

b/

\(C=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{5.7}+...+\dfrac{1}{17.19}\)

\(2C=\dfrac{3-1}{1.3}+\dfrac{5-3}{3.5}+\dfrac{7-5}{5.7}+...+\dfrac{19-17}{17.19}=\)

\(=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{17}-\dfrac{1}{19}=\)

\(=1-\dfrac{1}{19}=\dfrac{18}{19}\Rightarrow C=\dfrac{18}{19}:2=\dfrac{9}{19}\)

A = 1+5^2+5^3+5^4+...+5^2018+5^2019

5A = 5^1+5^3+5^4+...+5^2018+5^2019+5^2020

5A - A = 5^2020 + 5 - 1

4A = 5^2020 + 4

4A + 1 = 5^2020 + 4 - 1

4A - 1 = 5^2020 + 3

\(A=5^{2020}-5^{2019}+5^{2018}-...-5+1\\ 5A=5^{2021}-5^{2020}+5^{2019}-...-5^2-5\\ 5A+A=\left(5^{2021}-5^{2020}+5^{2019}-...-5^2-5\right)+\left(5^{2020}-5^{2019}+5^{2018}-...-5+1\right)\\ 6A=5^{2021}+1\\ A=\dfrac{5^{2021}+1}{6}\)