Gọi d là ƯC(12n+1,30n+1)                 (d thuộc N*)

=> 12n+1 chia hết cho d;30n+1 chai hết cho d

=>5(12n+1) chia hết cho d;2(30n+1) chia hết cho d

    60n+5 chai hết cho d;60n+2 chia hết cho d

=>(60n+5)-(60n+2) chia hết cho d

    60n+5-60n-2      chia hết cho d

    (60n-60n)+(5-2)  chia hết cho d

                      3     chia hết cho d

       => d thuộc {1;3}

       Hay ƯC(12n+1;30n+1) thuộc {1;3}

Mà 12n+1 và 30n+1 không chia hết cho 3 vì:

12n và 30n chia hết cho 3

Mà 1 không chia hết cho 3 nên 12n+1 và 30n+1 không chia hết cho 3

Do đó ƯC(12n+1;30n+1) thuộc {1}

         => ƯCLN(12n+1;30n+1) = 1

   Vậy ƯCLN(12n+1;30n+1) = 1 (với n thuộc N)

12n+1 / 30n+1 tới giản

suy ra ĐPCM

Giả sử cả 12n+1 và 30n+2 đều chia hết cho d

=> 12n+1 chia hết cho d và 30n+2 chia hết cho d

=> 5(12n+1) chia hết cho d và 2(30n+2) chia hết cho d

=> 60n+5 chia hết cho d và 60n+4 chia hết cho d

=> 60n+5-60n-4 chia hết cho d

<=> 1 chia hết cho d

=> d=1

Vậy \(\frac{12n+1}{30n+2}\)là tối giản với mọi n thuộc N

Muốn chứng minh hai số là nguyên tố cùng nhau thì ta chứng minh ước chung lớn nhất của chúng bằng 1.

Thật vậy, Giả sử d là ước chung của 3n + 2 và 12n + 5 .

=> d là ước của 3n + 2 => d là ước của (3n+2).4 = 12n + 8 

=> d là ước của (12n + 8) - (12n + 5) = 3 => d là ước của 3n

=> d là ước của (3n + 2) - 3n = 2

Vì d vừa là ước của 3 và 2 nên d = 1.

Đề thiếu rồi phải là $30n+2$

Gọi $ƯCLN(12n+1,30n+2)=d(d>0)(d \in N)$

$\to \begin{cases}12n+1 \vdots d\\30n+2 \vdots d\\\end{cases}$

$\to \begin{cases}60n+5 \vdots d\\60n+4 \vdots d\\\end{cases}$

$\to 60n+5-60n-4 \vdots d$

$\to 1 \vdots d$

$\to d=1$

Vậy ƯCLN(12n+1,30n+2)

Vì 12n+1 = 12n +24 - 23 = 12 (n+2) - 23

=> 12n+1 / 2 (n+2) = 12 (n+2) - 23 / 2n (n+2) = 12 (n+2) / 2n (n+2) - 23 / 2n (n+2) = 6 / n - 23 / 2n (n+2)

Ta có: 2n (n+2) chia hết cho 2

=> 2n (n+2) là số chẵn

Mà 23 là số lẻ nên phân số 23 / 2n (n+2) là phân số tối giản

=> 6 / n - 23 / 2n (n+2) là phân số tối giản

Vậy 12n+1 / 2 (n+2) là phân số tối giản