\(f\left(x\right)⋮\left(x+1\right)\)tức là chia hết cho \(\left[x-\left(-1\right)\right]\)

Do đó: \(f\left(-1\right)=0\Rightarrow n=-7\)

Tương tự, \(f\left(x\right)⋮\left(x-3\right)\)nên \(f\left(3\right)=0\)

\(\Rightarrow36m-13n-3=0\)

Giải hệ\(\hept{\begin{cases}n=-7\\36m-13n-3=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n=-7\\m=\frac{-22}{9}\end{cases}}\)

+ P(x) chia hết cho x + 1

⇔ P(-1) = 0

⇔   m . ( - 1 ) 3   +   ( m   –   2 ) ( - 1 ) 2   –   ( 3 n   –   5 ) . ( - 1 )   –   4 n   =   0

⇔ -m + m – 2 + 3n – 5 – 4n = 0

⇔ -n – 7 = 0

⇔ n = -7 (1)

+ P(x) chia hết cho x – 3

⇔ P(3) = 0

⇔ m.33 + (m – 2).32 – (3n – 5).3 – 4n = 0

⇔ 27m + 9m – 18 – 9n + 15 – 4n = 0

⇔ 36m – 13n = 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

+ P(x) chia hết cho x + 1

⇔ P(-1) = 0

⇔ m.(-1)3 + (m – 2)(-1)2 – (3n – 5).(-1) – 4n = 0

⇔ -m + m – 2 + 3n – 5 – 4n = 0

⇔ -n – 7 = 0

⇔ n = -7 (1)

+ P(x) chia hết cho x – 3

⇔ P(3) = 0

⇔ m.33 + (m – 2).32 – (3n – 5).3 – 4n = 0

⇔ 27m + 9m – 18 – 9n + 15 – 4n = 0

⇔ 36m – 13n = 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

Sửa đê: Q=mx^3+(m-2)x^2-(3n-5)x-4n

\(\dfrac{Q\left(x\right)}{x+1}\)

\(=\dfrac{mx^3+mx^2-2x^2-2x+\left(2-3n+5\right)x-4n}{x+1}\)
\(=mx^2-2x+\dfrac{\left(7-3n\right)x+7-3n-7-n}{x+1}\)

\(=mx^2-2x+7-3n+\dfrac{-n-7}{x+1}\)

Q(x) chia hết cho x+1

=>-n-7=0

=>n=-7

=>Q(x)=mx^3+(m-2)x^2+26x-28

\(\dfrac{Q\left(x\right)}{x-3}=\dfrac{mx^3-3mx^2+\left(4m-2\right)x^2-3\left(4m-2\right)x+\left(12m-6+26\right)x-28}{x-3}\)

\(=mx^2+\left(4m-2\right)x+\dfrac{\left(12m+20\right)x-28}{x-3}\)

\(=mx^2+\left(4m-2\right)x+\dfrac{\left(12m+20\right)x-3\left(12m+20\right)+3\left(12m+20\right)-28}{x-3}\)

\(=mx^2+\left(4m-2\right)x+12m+20+\dfrac{36m+32}{x-3}\)

Q(x) chia hết cho x-3

=>36m+32=0

=>m=-8/9

a) Ta có f(x) - 5 \(⋮\)x + 1 

=> x³ + mx² + nx + 2 - 5 \(⋮\)x + 1

=> x³ + mx² + nx  - 3 \(⋮\)x + 1

=> x = - 1 là nghiệm đa thức 

Khi đó (-1)³ + m(-1)² + n(-1) - 3 = 0

<=> m - n = 4 (1) 

Tương tự ta được f(x) - 8 \(⋮\)x + 2 

=> x³ + mx² + nx - 6 \(⋮\) x + 2

=> x = -2 là nghiệm đa thức

=> (-2)³ + m(-2)² + n(-2) - 6 = 0

<=> 2m - n = 7 (2) 

Từ (1)(2) => HPT \(\left\{{}\begin{matrix}m-n=4\\2m-n=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=3\\n=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy đa thức đó là f(x) = x³ + 3x² - x + 2  

b)  f(x) - 7 \(⋮\)x + 1

=> x³ + mx + n - 7 \(⋮\) x + 1 

=> x = -1 là nghiệm đa thức 

=> (-1)³ + m(-1) + n - 7 = 0

<=> -m + n = 8 (1) 

Tương tự ta được : x³ + mx + n + 5 \(⋮\)x - 3 

=> x = 3 là nghiệm đa thức 

=> 3³ + 3m + n + 5 = 0

<=> 3m + n = -32 (2) 

Từ (1)(2) => HPT : \(\left\{{}\begin{matrix}3m+n=-32\\-m+n=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m=-40\\-m+n=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-10\\n=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy f(x) = x³ - 10x -2

http://lazi.vn/edu/exercise/biet-rang-da-thuc-px-chia-het-cho-da-thuc-x-a-khi-va-chi-khi-pa-0-hay-tim-cac-gia-tri-cua-m-va-n

Bài tham khảo: