Ta có \(B=2^1+2^2+2^3+...+2^{30}\)

\(\Rightarrow2B=2^2+2^3+2^4+...+2^{31}\)

\(\Rightarrow B=2B-B=\)\(\left(2^2+2^3+2^4+...+2^{31}\right)-\left(2^1+2^2+2^3+...+2^{30}\right)\)

\(\Leftrightarrow B=2^{31}-2=2\left(2^{30}-1\right)=2\left(8^{10}-1\right)\)

Mà \(8^{10}-1⋮\left(8-1\right)\Leftrightarrow8^{10}-1⋮7\) (1)

Mặt khác \(8^{10}-1=\left(9-1\right)^{10}-1=BS3+1-1=BS3\left(2\right)\)

(1) ; (2) và (7;3) = 1 \(\Rightarrowđpcm\)

Ta có : 21 = 3 . 7

Mà 3 và 7 nguyên tố cùng nhau

=> B \(⋮\)21 khi B \(⋮\)3 và B \(⋮\)7

• \(B=2+2^2+2^3+...+2^{30}\)

\(\Rightarrow B=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{29}+2^{30}\right)\)

\(\Rightarrow B=2.\left(2^0+2^1\right)+2^3.\left(2^0+2^1\right)+...+2^{29}.\left(2^0+2^1\right)\)

\(\Rightarrow B=2.3+2^3.3+...+2^{29}.3\)

\(\Rightarrow B=3.\left(2+2^3+...+2^{29}\right)⋮3\)( 1 )

• \(B=2+2^2+2^3+...+2^{30}\)

\(\Rightarrow B=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{28}+2^{29}+2^{30}\right)\)

\(\Rightarrow B=2.\left(2^0+2^1+2^2\right)+2^4.\left(2^0+2^1+2^2\right)+...+2^{28}.\left(2^0+2^1+2^2\right)\)

\(\Rightarrow B=2.7+2^4.7+...+2^{28}.7\)

\(\Rightarrow B=7.\left(2+2^4+...+2^{28}\right)⋮7\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) 

\(\Rightarrow B⋮3.7\)

\(\Rightarrow B⋮21\)

B= 2+ 2²+ 2³+...+ 2²⁹+ 2³⁰.

B có số các số hạng là:

( 30- 1): 1+ 1= 30( số)

* Ta ghép 2 số hạng vào 1 nhóm được 15 nhóm.

=> B=( 2+ 2²)+( 2³+ 2⁴)+( 2⁵+ 2⁶)+...+( 2²⁷+ 2²⁸)+( 2²⁹+ 2³⁰).

=> B= 2( 1+ 2)+ 2³( 1+ 2)+ 2⁵( 1+ 2)+...+ 2²⁷( 1+ 2)+ 2²⁹( 1+ 2).

B= 2. 3+ 2³. 3+ 2⁵. 3+...+ 2²⁷. 3+ 2²⁹. 3.

B= 3( 2+ 2³+ 2⁵+...+ 2²⁷+ 2²⁹)\(⋮\)3.

=> B\(⋮\) 3( 1)

* Ta ghép 3 số hạng vào 1 nhóm được 10 nhóm.

=> B=( 2+ 2²+ 2³)+( 2⁴+ 2⁵+ 2⁶)+( 2⁷+ 2⁸+ 2⁹)+...+( 2²⁵+ 2²⁶+ 2²⁷)+( 2²⁸+ 2²⁹+ 2³⁰).

B= 2( 1+ 2+ 2²)+ 2⁴( 1+ 2+ 2²)+ 2⁷( 1+ 2+ 2²)+...+ 2²⁵( 1+ 2+ 2²)+ 2²⁸( 1+ 2+ 2²).

B= 2. 7+ 2⁴. 7+ 2⁷. 7+...+ 2²⁵. 7+ 2²⁸. 7.

B= 7( 2+ 2⁴+ 2⁷+...+ 2²⁵+ 2²⁸)\(⋮\) 7.

=> B\(⋮\) 7( 2).

( 3; 7)= 1( 3).

Từ( 1);( 2);( 3)

=> B\(⋮\) 21.

=> đpcm.

\(B=2+2^2+2^3+...+2^{30}\)

\(=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+2^5\left(1+2\right)+...+2^{29}\left(1+2\right)\)

\(=2\cdot3+2^3\cdot3+2^5\cdot3+...+2^{29}\cdot3\)

\(=3\left(2+2^3+2^5+...+2^{29}\right)⋮3\)

Mặt khác:\(B=2+2^2+2^3+...+2^{30}\)

\(=2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+....+2^{28}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=2\cdot7+2^4\cdot7+....+2^{28}\cdot7\)

\(=7\left(2+2^4+...+2^{28}\right)⋮7\)

Mà (3;7)=1

\(\Rightarrow B⋮3\cdot7=21\)

Ta có:B=\(2+2^2+...........+2^{30}\)

\(=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6\right)+.........+\left(2^{25}+2^{26}+2^{27}+2^{28}+2^{29}+2^{30}\right)\)

\(=2\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+.........+2^{25}\left(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)\)

\(=2.63+2^7.63+........+2^{25}.63\)

\(=\left(2+2^7+...+2^{25}\right).63\) chia hết cho 21

a, \(A=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}\)

\(A< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.100}\)

\(A< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(A< 2-\frac{1}{50}\)

\(A< 2\)

b, \(B=2+2^2+2^3+...+2^{30}\)

Ta có :\(B=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{29}+2^{30}\right)\)

\(B=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{29}\left(1+2\right)\)

\(B=2.3+2^3.3+...+2^{29}.3\)

\(B=3\left(2+2^3+...+2^{29}\right)\)chia hết cho 3(1)

Lại có\(B=\left(2+2^2+2^4\right)+...+\left(2^{28}+2^{29}+2^{30}\right)\)

\(B=2\left(1+2+4\right)+...+2^{28}\left(1+2+4\right)\)

\(B=2.7+...+2^{28}.7\)

\(B=7\left(2+...+2^{29}\right)\) chia hết cho 7 (2) 

Mà (3,7)=1 (3) 

Từ (1)(2)(3) => B chia hết cho 21

a)  A  =  1 + 2 + 2² + 2³ + ...... + 2³⁹

= (1 + 2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷) + .....+ (2³⁶ + 2³⁷ + 2³⁸ + 2³⁹)

= (1 + 2 + 2² + 2³) + 2⁴(1 + 2 + 2² + 2³) + .......+ 2³⁶(1 + 2 + 2² + 2³)

= 15 (1 + 2⁴ + ...... + 2³⁶ )  \(⋮15\)

Vậy  A là bội của 15

b)   B = 2 + 2² + 2³ + ...... + 2²⁰⁰⁴

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + ...... + (2²⁰⁰¹ + 2²⁰⁰² + 2²⁰⁰³ + 2²⁰⁰⁴)

= 2(1 + 2 + 2³ + 2⁴) + 2⁵(1 + 2 + 2² + 2³) + ....... + 2²⁰⁰¹(1 + 2 + 2² +2³)

= 15 (2 + 2⁵ + ..... + 2²⁰⁰¹)           \(⋮15\)

Ta thấy B \(⋮2\)(vì các số hạng của B đều chia hết cho 2)

mà  (2; 15) = 1

nên  B \(⋮30\)

c)  Gọi 3 số lẻ liên tiếp là:  2k+1; 2k+3; 2k+5

Ta có:   2k+1 + 2k+3 + 2k+5 = 6k + 9

Ta thấy   6k   chia hết cho 6 nhưng  9 ko chia hết cho 6

nên  6k + 9  ko chia hết cho 6

Vậy tổng của 3 số lẻ liên tiếp ko chia hết cho 6

a) Chia hết cho 2 và chia hết cho 5: 23 < 30 < 31; 31 < 40 < 45;

b) Chia hết cho 2 và chia hết cho 3: 15 < 18 <21 ; 21 < 24 < 25.

c) Chia hết cho 9 và chia hết cho 2: 10 < 18< 30; 30 < 36 < 40

ôk