Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và có tâm nội tiếp I. M là trung điểm AI. N đối xứng với M qua OI. K thuộc BC sao cho IK vuông góc với OI. AK cắt MN tại J. H là trực tâm tam giác AIN. Chứng minh rằng: JH // OI ?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 6 2023
a: góc HBC+góc HCB=90 độ-góc ABC+90 độ-góc ACB
=180 độ-(góc ABC+góc ACB)
=góc BAC
=>góc BHC=180 độ-góc BAC
H đối xứng M qua BC
=>BH=BM và CH=CM
Xét ΔBHC và ΔBMC có
BH=BM
HC=MC
BC chung
=>ΔBHC=ΔBMC
=>góc BMC=góc BHC
=>góc BMC+góc BAC=180 độ
=>ABMC nội tiếp
=>M thuộc (O)
c: Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)
=>góc xAC=góc ABC=góc AFE
=>FE//AX
=>OA vuông góc FE
d: góc BEH+góc BKH=180 độ
=>BEHK nội tiếp
góc CKH+góc CFH=180 độ
=>CKHF nội tiếp
góc AEH+góc AFH=180 độ
=>AEHF nội tiếp
góc EKH=góc EBH
góc FKH=góc FCE
mà góc EBH=góc FCE
nên góc EKH=góc FKH
=>KH là phân giác của góc EKF(1)
góc FEH=góc KAC
góc KEH=góc FBC
mà góc KAC=góc FBC
nên góc FEH=góc KEH
=>EH là phân giác của góc FEK(2)
Từ (1), (2) suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp ΔKEF
Gọi E là điểm đối xứng với A qua đường thẳng OI. Tia AI cắt (O) tại D khác A. DE giao BC tại F.
Ta thấy \(\Delta\)MIN và \(\Delta\)AIE cân tại I có ^IMN = ^IAE (Vì MN // AE vuông góc OI) => ^MIN = ^AIE => I,N,E thẳng hàng.
=> MN là đường trung bình \(\Delta\)AIE => AE = 2.MN, IE = 2.IN
Ta có: AE // IK (Cùng vuông góc OI) => ^KIE = ^IEA = ^IAE = ^BAE - ^BAD = ^BDx - ^DBC = ^BFD = ^KFE
=> Tứ giác KEIF nội tiếp => ^KEI = ^BFI (1)
Mặt khác: \(\Delta\)DFC ~ \(\Delta\)DCE (g.g) => DC2 = DF.DE => DI2 = DF.DE => \(\Delta\)DFI ~ \(\Delta\)DIE (c.g.c)
=> ^DFI = ^DIE = 2.^IAE = 2.^BFD (Vì ^IAE = ^BFD) => ^KIE = ^BFI (2)
Từ (1) và (2) => ^KIE = ^KEI => \(\Delta\)IKE cân tại K. Từ đó: \(\Delta\)IKE ~ \(\Delta\)AIE (g.g) => IE2 = IK.AE
Dễ thấy MJ là đường trung bình \(\Delta\)AIK => IK = 2.MJ. Kết hợp với AE = 2.MN (cmt)
Suy ra: IE2 = 4.MJ.MN hay AI2 = 4.MJ.MN => 4.MA2 = 4.MJ.MN => MA2 = MJ.MN => \(\Delta\)MJA ~ \(\Delta\)MAN (c.g.c)
=> ^MJA = ^MAN. Tương tự thì ^MJI = ^MIN => ^MJA + ^MJI = ^MAN + ^MIN => ^AJI = 1800 - ^ANI
Lại có: H là trực tâm \(\Delta\)AIN => ^AHI = 1800 - ^ANI. Do đó: ^AHI = ^AJI => Tứ giác AIHJ nội tiếp
=> ^AJH + ^AIH = 1800 <=> ^MJA + ^MJH + 900 - ^IAN = ^MJH + 900 = 1800 => ^MJH = 900
=> JH vuông góc MN. Mà OI cũng vuông góc MN nên JH // OI (đpcm).