a)thay k=0, ta có

\(4x^2-25+0^2+4.0.x=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-25+0+0=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-25=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-5\right)\left(2x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-5=0\\2x+5=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{2}\\x=-\frac{5}{2}\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của PT là \(S=\left\{\frac{5}{2};-\frac{5}{2}\right\}\)

b) Thay k=-3, ta có:

\(4x^2-25+\left(-3\right)^2+4\left(-3\right)x=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-25+9-12x=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-16-12x=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-16+4x-16x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+4x\right)-\left(16x+16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4x\left(x+1\right)-16\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(4x-16\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+1=0\\4x-16=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\x=4\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của PT là \(S=\left\{-1;4\right\}\)

c) Thay x=-2, ta có:

\(4\left(-2\right)^2-25+k^2+4\left(-2\right)k=0\)

\(\Leftrightarrow16-25+k^2-8k=0\)

\(\Leftrightarrow-9+k^2-8k=0\)

\(\Leftrightarrow-9+k^2+k-9k=0\)

\(\Leftrightarrow\left(k^2+k\right)-\left(9k+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow k\left(k+1\right)-9\left(k+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(k+1\right)\left(k-9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k+1=0\\k-9=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k=-1\\k=9\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của PT là \(S=\left\{-1;9\right\}\)

Thay x = -2 vào PT ta đc

16-25+k² -8k=0

k² -8k-9=0

=>k=9

k=-1

Thay x = 2 vào phương trình :

\(4\cdot2^2-25+k^2+4\cdot2\cdot k=0\)

\(\Rightarrow16-25+k^2+8k=0\)

\(\Rightarrow k^2+8k-9=0\)

\(\Rightarrow k^2+k-9k-9=0\)

\(\Rightarrow\left(k-1\right)\left(k+9\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}k=1\\k=9\end{matrix}\right.\)

Vậy k \(\in\left\{1;9\right\}\)

Trường hợp 1: m=0

=>-3<0(luôn đúng)

=>Nhận

Trường hợp 2: m<>0

\(\text{Δ}=\left(2m\right)^2-4\cdot m\cdot\left(-3\right)=4m^2+12m=4m\left(m+3\right)\)

Để phương trình có nghiệm đúng thì \(\left\{{}\begin{matrix}4m\left(m+3\right)< 0\\m< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-3< m< 0\)

Vậy: -3<m<=0

TH1: \(m=2\)

\(pt\Leftrightarrow-4x+5=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{4}\)

\(\Rightarrow m=2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2: \(m\ne2\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-\left(m-2\right)\left(m+3\right)>0\\\dfrac{2m}{m-2}>0\\\dfrac{m+3}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6-m>0\\\dfrac{2m}{m-2}>0\\\dfrac{m+3}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -3\\2< m< 6\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m\in\left(-\infty;-3\right)\cup\left(2;6\right)\)

a)

\(\Delta'=\left(-2\right)^2-\left(4m-m^2\right)=4-4m+m^2=\left(m-2\right)^2\ge0\)

Vì \(\Delta'\ge0\) nên phương trình có nghiệm với mọi m

b) Theo Vi-ét có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=4m-m^2\end{matrix}\right.\)

Lấy phương trình đầu của hệ, kết hợp với đề bài, có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_2=x_1^2-5x_1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=4-x_1\\x_2=x_1^2-5x_1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=4-x_1\\x_1^2-5x_1=4-x_1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=4-x_1\\x^2-4x_1+4=8\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=4-x_1\\\left(x_1-2\right)^2=8\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=4-x_1\\\left[{}\begin{matrix}x_1=2+2\sqrt{2}\\x_1=2-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x_1=2+2\sqrt{2}\\x_2=2+2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x_1=2-2\sqrt{2}\\x_2=2-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Ta có

\(x_1x_2=4m-m^2\)

Đã tìm được \(x_1\) và \(x_2\) , thay vào để tìm m

\(x^2+\left(m-2\right)x-8=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(m-2\right)^2-4.1.\left(-8\right)=\left(m-2\right)^2+32\)

Vì \(\left(m-2\right)^2\ge0\forall m\)

\(\Rightarrow\left(m-2\right)^2+32\ge32>0\forall m\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Theo định lí vi-ét ta có:\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2-m\\x_1x_2=\frac{c}{a}=-8\end{cases}}\Rightarrow x_2=\frac{-8}{x_1}\)

Theo bài ra ta có:\(A=\left(x_1^2-1\right)\left(x_2^2-4\right)=\left(x_1^2-1\right)\left(\frac{64}{x_1^2}-4\right)=68-4\left(x_1^2+\frac{16}{x_1^2}\right)\le68-4.8=36\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x_1=\pm2\)

+Với  \(x_1=2\Rightarrow m=4\)

+Với \(x_1=-2\Rightarrow m=0\)

Vậy \(A=\left(x_1^2-1\right)\left(x_2^2-4\right)\)đạt GTLN là 36 \(\Leftrightarrow m=0;m=4\)

Để pt có 2 nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow x_1x_2< 0\Leftrightarrow m^2-2m< 0\)

\(\Rightarrow0< m< 2\)