Đặt 111....1<n chữ số 1> là k
Ta có: 111......1<2n chữ số 1>=k.10ⁿ + k
Vì :10ⁿ = 9k + 1
11......1<2n chữ số 1>= k.<9k + 1> +k = 9k²+k+k = 9k² + 2k
Ta có 444........4<n chữ số 4>=4k
Vậy a+b+1= 9k² +2k+4k+1 = <3k>² +2.3k.1 +1² = <3k +1>²
Vậy a+b+1 là một số chính phương

A = 111...1000...0 + 111...1 - 222...2

     (n cs 1)(n cs 0)   (n cs 1)  (n cs 2)

\(A=111...1\cdot10^n+111...1-222...2\)

        (n cs 1)                       ( n cs 1 )      ( n cs 2 )

Đặt   K = 111...1  ( n cs 1 )   => 9K + 1 = 10^n

=> A = K( 9k + 1 ) + K - 2K

        = 9K^2 + K + K - 2K

        = 9K^2   = (3K)^2     

=> A là một số chính phương

B = 111...1000...0 + 111...1 +  444...4 + 1

    (n cs 1)(n cs 0)   (n cs 1)    (n cs 4)

\(\Rightarrow B=111...1\cdot10^n+111...1+444...4+1\)

                ( n cs 1 )                 ( n cs 1 )         ( n cs 4 )

Đặt   K = 111...1   ( n cs 1 )         => 9K + 1 = 10^n

=> B = K( 9K + 1 ) + K + 4K + 1

         = 9K^2 + 6K + 1

         = ( 3K + 1 ) ^2

=> B là một số chính phương

Đặt 111...11 (n chữ số 1) là k

Ta có: 111...11 (2n chữ số 1)=k.10^n+k

Vì: 10^n=9k+1

111...11 (2n chữ số 1)=k(9k+1)+k=9k^2+k+k=9k^2+2k

Ta có: 444...44 (n chữ số 4)=4k

vậy a+b+1=9k^2+2k+4k+1=(3k)^2+2.3k.1+1^2=(3k+1)^2

vậy a+b+1 là một số chính phương

n thuộc N nữa nha!

Đặt 11...1(n chữ số 1)=a

Thì 9a+1=10ⁿ

\(\Rightarrow M=...\)

          \(=a.\left(9a+1\right)+a+4a+1\)

           \(=9a^2+6a+1=\left(3a+1\right)^2\)