Xét ΔABC có

AD,BE,CF là trung tuyến

AD,BE,CF cắt nhau tai G

=>G là trọng tâm

=>BG=2/3BE=2BM và CG=2/3CF=2CN

=>M,N lần lượt là trung điểm của GB,GC

=>GD,CM,BN đồng quy

=>AD,CM,BN đồng quy

Câu hỏi của ✎﹏ Ƈøｏȴ _ Ǥɩ®ʆ _☜♥☞ ✓ - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo nhé!

a) Do ∆ABC đều

⇒ AB = AC = BC và ∠A = ∠B = ∠C = 60⁰

Do AD, BE, CF là ba đường trung tuyến

⇒ F, E, D lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC

⇒ AF = BF = AE = CE = BD = CD

Xét ∆BEC và ∆CFB có:

CE = BF (cmt)

BC chung

∠BCE = ∠CBF = 60⁰

⇒ ∆BEC = ∆CBF (c-g-c)

⇒ BE = CF (hai cạnh tương ứng)  (1)

Xét ∆ADC và ∆CFA có:

AC chung

CD = AF (cmt)

∠ACD = ∠CAF = 60⁰

⇒ ∆ADC = ∆CFA (c-g-c) 

⇒ AD = CF (hai cạnh tương ứng)   (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AD = BE = CF  (3)

b) Do AD là đường trung tuyến ứng với đỉnh A

⇒ AG = 2/3 AD (4)

Do BE là đường trung tuyến ứng với đỉnh B

⇒ BG = 2/3 BE (5)

Do CF là đường trung tuyến ứng với đỉnh C

⇒ CG = 2/3 CF (6)

Từ (3), (4), (5), (6) ⇒ AG = BG = CG

-△ABC có: G là trọng tâm; AD, BE, CF là các trung tuyến:

\(\Rightarrow BG=\dfrac{2}{3}BE;CG=\dfrac{2}{3}CF\)

\(\Rightarrow BG=2BM;CG=2CN\)

\(\Rightarrow\)M là trung điểm BG ; N là trung điểm CG.

-△BCG có: CM là trung tuyến (N là trung điểm CG) ; BN là trung tuyến 

(M là trung điểm BG) ; GD là trung tuyến (D là trung điểm BC)

\(\Rightarrow\)AD; BN; CM đồng quy.