Theo câu a ta có: |x - y| + |y| ≥ |x – y + y| = |x| ⇒ |x - y| ≥ |x| - |y|.

Với mọi x, y ∈ Q ta luôn có x ≤ |x| và -x ≤ |x|;

y ≤ |y| và -y ≤ |y| ⇒ x + y ≤ |x| + |y| và -x – y ≤ |x| + |y|

hay x + y ≥ -(|x| + |y|).

Do đó –(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|.

Vậy |x + y| ≤ |x| + |y|.

(Dấu “=” xảy ra khi xy ≥ 0.

\(\left|x-2y\right|+\left|4y-5z\right|+\left|z-3x\right|=2019\)

\(\Rightarrow\left|x-2y\right|+x-2y+\left|4y-5z\right|+4y-5z+\left|z-3x\right|+z-3x=2019+2y-4z-2x\)

Xét \(a< 0\) ta có:\(\left|a\right|+a=-a+a=0⋮2\)

Xét \(a=0\) ta có:\(\left|a\right|+a=0⋮2\)

Xét \(a>0\) ta có:\(\left|a\right|+a=a+a=2a⋮2\)

Vậy với mọi a thì \(\left|a\right|+a\) luôn chia hết cho 2
Áp dụng vào bài ta có:\(\left|x-2y\right|+x-2y+\left|4y-5z\right|+4y-5z+\left|z-3x\right|+z-3x⋮2\)

mà \(2019+2y-4z-2x\) không chia hết cho 2,vô lí
Vậy không tồn tại số nguyên x,y,z thỏa mãn

cảm ơn bạn

Ta có:

 \(\frac{x+y}{x-y}=-4\Rightarrow x+y=-4\times\left(x-y\right)\)

\(\Rightarrow x+y=-4\times x-\left(-4\times y\right)\)

\(\Rightarrow5\times x=3\times y\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{3}{5}\)

Áp dụng quy tắc chuyển vế trong bất đẳng thức ta có:

x – y > 0

x > 0 + y

hay x > y (điều phải chứng minh)

Áp dụng quy tắc chuyển vế trong bất đẳng thức ta có:

x > y

x > y + 0

x – y > 0 (điều phải chứng minh)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\b\ne0\\c\ne0\end{matrix}\right.\)Ta có: \(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\cdot\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\left(a^2+b^2+c^2\right)\cdot\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+\dfrac{x^2\cdot\left(b^2+c^2\right)}{a^2}+y^2+\dfrac{y^2\left(a^2+c^2\right)}{b^2}+z^2+\dfrac{z^2\cdot\left(a^2+b^2\right)}{c^2}\)

\(\Leftrightarrow x^2\cdot\dfrac{b^2+c^2}{a^2}+y^2\cdot\dfrac{a^2+c^2}{b^2}+z^2\cdot\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=0\)(1)

Vì (1) luôn không âm mà a,b,c≠0

nên x=y=z=0

⇒\(\dfrac{x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\dfrac{0^{2019}+0^{2019}+0^{2019}}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=0\)

mà \(\dfrac{x^{2019}}{a^{2019}}+\dfrac{y^{2019}}{b^{2019}}+\dfrac{z^{2019}}{c^{2019}}=\dfrac{0^{2019}}{a^{2019}}+\dfrac{0^{2019}}{b^{2019}}+\dfrac{0^{2019}}{c^{2019}}=0\)

nên \(\dfrac{x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\dfrac{x^{2019}}{a^{2019}}+\dfrac{y^{2019}}{b^{2019}}+\dfrac{z^{2019}}{c^{2019}}\)