Ta có bất đẳng thức sau 

a² + b² + c² \(\ge\) ab + bc + ca (1)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

Thật vậy (1) <=> 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca \(\ge0\) 

  <=> (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² \(\ge0\) (bđt này luôn đúng)

Khi đó ta được (1) <=> 2(a² + b² + c²) \(\ge\) 2(ab + bc + ca) 

<=> 3(a² + b² + c²) \(\ge\) 2ab + 2bc + 2ca + a² + b² + c² 

<=> 3(a² + b² + c²) \(\ge\) (a + b + c)² 

=> -(a² + b² + c²) \(\le\dfrac{(a+b+c)^2}{3}\)

Ta có \(P=\dfrac{b+c}{b+c-a}+\dfrac{c+a}{c+a-b}+\dfrac{a+b}{a+b-c}\)

\(=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}+3\)

\(=\dfrac{a^2}{ab+ac-a^2}+\dfrac{b^2}{ab+bc-b^2}+\dfrac{c^2}{ac+bc-c^2}+3\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac-a^2+ab+bc-b^2+ac+bc-c^2}+3\) (BĐT Schwarz)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+2ac+2bc-a^2-b^2-c^2}+3\)

\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2-2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+3\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2-\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)^2}+3=\dfrac{1}{1-\dfrac{2}{3}}+3=6\) (đpcm) 

Vì a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên \(\hept{\begin{cases}a+b>c\\a+c>b\\b+c>a\end{cases}}\)(bất đẳng thức tam giác)

\(\Rightarrow\frac{c}{a+b}< 1\Rightarrow\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{b}{a+c}< 1\Rightarrow\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)

Cộng vế với vế ta được :

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)(đpcm)

de sai ban a

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương a, b, c

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)    ;  \(b+c\ge2\sqrt{bc}\);   \(c+a\ge\sqrt{ca}\)

Nhân các vế của BĐT \(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c => tam giác đó đều

Do a,b,c là 3 cạnh là 3 cạnh tam giác =>a,b,c>0

Áp dụng BĐT co si cho 2 số dương ta có:

a+b\(\ge2\sqrt{ab}\)

b+c\(\ge2\sqrt{bc}\)

a+c\(\ge2\sqrt{ac}\)

=>(a+b)(b+c)(c+a)>\(2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)

Dấu bằng xảy ra <=>a=b b=c c=a=>a=b=c

Mà theo đề bài (a+b)(b+c)(c+a)=8abc

=>a=b=c=>tam giác đó là tam giác đều

co cach khac khong , minh chua hoc bat dang thuc cosi

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Tương tự: \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) ; \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)

Nhân vế với vế:

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác đã cho là tam giác đều

Giáo viên ơi,cho em hỏi là còn cách nào khác ngoài bất đẳng thức cosi ko ạ?