Cho phương trình: x² - (2m - 1)x - m = 0       

Co \(\Delta=\left(-\left(2m-1\right)\right)^2-4.1.\left(-m\right)=4m^2-4m+1+4m=4m^2+1>0\)

Vi \(\Delta>0\) nen PT luon co ngiem phan biet voi moi gia tri cua m

a) đenta phẩy=m^2-m^2+1>0

=>.........................

a) Xét \(\Delta\) = b² - 4ac = (-m)² - 4(2m - 4)

= m² - 8m + 16 = ( m - 4 )²

Ta có: ( m - 4 )² \(\ge\) 0

=> Pt luôn có nghiệm

b) Vì phương trình luôn có nghiệm nên áp dụng định lí Ta- lét:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}==m\\x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)
Xét phương trình: x₁² + x₂² - 9

= x₁² + x₂² + 2x₁x₂ - 2x₁x₂ - 9

= (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ - 9

= (-m)² - 2(2m - 4) - 9

= m² - 4m + 8 - 9

= m² - 4m - 1 = m² - 4m + 4 - 5

= (m - 2)² - 5

Xét (m - 2)² \(\ge\) 0

=> (m - 2)² - 5 \(\ge\) -5

Dấu " =" xảy ra khi m - 2 = 0

<=> m = 2

\(\Delta=m^2-8m+16=\left(m-4\right)^2\ge0\Rightarrow\) pt luôn có nghiệm

Khi đó theo Viet \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)

\(A=x_1^2+x_2^2-9=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-9\)

\(A=m^2-2\left(2m-4\right)-9\)

\(A=m^2-4m-1\)

\(A=\left(m-2\right)^2-5\ge-5\)

\(\Rightarrow A_{min}=-5\) khi \(m=-2\)

(1-2m)² - 4m(m-2) >0

1-4m +4m²-4m² +8m >0

4m +1 >0

m > -1/4

với m> -4 thì đa thức co nghiệm là số hữu tỷ, không lẽ bn học trg chuyên mà không hiểu?

Bơ t hết rồi ak

a. Δ' = b'² - ac = (m-1)² - (-2m-3) = m² - 2m + 1 + 2m + 3

= m² + 4 ≥ 4 > 0 ∀ m ∈ R

Vậy pt đã cho luôn có hai nghiệm x₁; x₂ phân biệt với mọi m thuộc R

b. Áp dụng Viet, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m-1\right)\\x_1\cdot x_2=-2m-3\end{matrix}\right.\)

Theo đề ta có \(\left(4x_1+5\right)\left(4x_2+5\right)+19=0\)

⇔ \(16x_1x_2+20x_1+20x_2+25+19=0\)

⇔ \(16x_1x_2+20\left(x_1+x_2\right)+44=0\)

⇔ \(16\left(-2m-3\right)+20\left[-2\left(m-1\right)\right]+44=0\)

⇔ \(-32m-48-40m+40+44=0\)

⇔ \(-72m+36=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Vậy với m = \(\frac{1}{2}\)thì pt đã cho có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện \(\left(4x_1+5\right)\left(4x_2+5\right)+19=0\)

Bài 1:
ĐKXĐ: \(1\leq x\leq 3\)

Ta có:

\(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=3x^2-4x-2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-1+\sqrt{3-x}-1=3x^2-4x-4\)

\(\Leftrightarrow \frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{2-x}{\sqrt{3-x}+1}=(x-2)(3x+2)\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left(3x+2+\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right)=0(1)\)

Với mọi $1\leq x\leq 3$ ta luôn có \(3x+2\geq 5; \frac{1}{\sqrt{3-x}+1}>0; \frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\leq 1\)

\(\Rightarrow 3x+2+\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}>0(2)\)

Từ (1);(2) suy ra \(x-2=0\Rightarrow x=2\)

Vậy $x=2$ là nghiệm duy nhất của pt đã cho.

Bài 2:

Với mọi $x,y,z$ nguyên không âm thì :

\(2014^z=2012^x+2013^y\geq 2012^0+2013^0=2\Rightarrow z\geq 1\)

Với $z\geq 1$ thì ta luôn có \(2012^x+2013^y=2014^z\) là số chẵn

Mà \(2013^y\) luôn lẻ nên \(2012^x\) phải lẻ. Điều này chỉ xảy ra khi $x=0$

Vậy $x=0$

Khi đó ta có: \(1+2013^y=2014^z\)

Nếu $z=1$ thì dễ thu được $y=1$

Nếu $z>1$:

Ta có: \(2014^z\vdots 4(1)\)

Mà \(2013\equiv 1\pmod 4\Rightarrow 1+2013^y\equiv 1+1\equiv 2\pmod 4\)

Tức \(1+2013^y\not\vdots 4\) (mâu thuẫn với (1))

Vậy PT có nghiệm duy nhất \((x,y,z)=(0,1,1)\)