a: góc CDM=góc CEM=90 độ

=>CDEM nội tiếp

b: Xet ΔMEA vuông tại E và ΔMDB vuông tại D có

góc EMA chung

=>ΔMEA đồng dạng với ΔMDB

=>ME/MD=MA/MB

=>ME*MB=MA*MD

a. góc CDM=góc CEM=90 độ

=>CDEM nội tiếp

b. Xet ΔMEA vuông tại E và ΔMDB vuông tại D có

góc EMA chung

=>ΔMEA đồng dạng với ΔMDB

=>ME/MD=MA/MB

=>ME*MB=MA*MD

d: \(SA^2=SB\cdot SC\)

\(SE^2=SB\cdot SC\)

=>SA=SE

Xét ΔOAS và ΔOES có

OA=OE

SA=SE

OS chung

Do đó: ΔOAS=ΔOES

=>\(\widehat{OAS}=\widehat{OES}\)

mà \(\widehat{OAS}=90^0\)

nên \(\widehat{OES}=90^0\)

=>E nằm trên đường tròn đường kính SO

mà S,A,O,D cùng thuộc đường tròn đường kính SO(cmt)

nên E nằm trên đường tròn (SAOD)

a: M là điểm chính giữa của cung BC

=>\(sđ\stackrel\frown{MB}=sđ\stackrel\frown{MC}\) và MB=MC

Xét (O) có

\(\widehat{CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\widehat{BAM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

\(sđ\stackrel\frown{CM}=sđ\stackrel\frown{BM}\)

Do đó: \(\widehat{CAM}=\widehat{BAM}\)

=>AM là phân giác của góc BAC

b: Xét (O) có

\(\widehat{SAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AS và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{SAC}=\widehat{ABC}=\widehat{SBA}\)

Xét ΔSAC và ΔSBA có

\(\widehat{SAC}=\widehat{SBA}\)

\(\widehat{ASC}\) chung

Do đó: ΔSAC đồng dạng với ΔSBA

=>\(\dfrac{SA}{SB}=\dfrac{SC}{SA}\)

=>\(SA^2=SB\cdot SC\)

c: Xét (O) có

góc CKA là góc có đỉnh ở trong đường tròn chắn cung AC và BM

=>\(\widehat{CKA}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{BM}\right)\)

=>\(\widehat{SKA}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{CM}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AM}\)

mà \(\widehat{SAK}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AM}\)(góc tạo bởi tiếp tuyến SA và dây cung AM)

nên \(\widehat{SAK}=\widehat{SKA}\)

=>SA=SK

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC

=>OM\(\perp\)BC tại D

Xét tứ giác SAOD có

\(\widehat{SAO}+\widehat{SDO}=90^0+90^0=180^0\)

nên SAOD là tứ giác nội tiếp

=>S,A,D,O cùng thuộc một đường tròn

Em không vẽ được hình, xin thông cảm

a, Ta có góc EAN=  cungEN=cung EC+ cung EN

Mà cung EC= cung EB(E là điểm chính giữa cung BC)

=> góc EAN=cungEB+ cung EN=góc DFE (tính chất góc ở giữa)

=> tam giác AEN đồng dạng tam giác FED

Vậy tam giác AEN đồng dạng tam giác FED

b,Ta có EC=EB=EM

Tam giác EMC cân tại E => EMC=ECM

 MÀ EMC+AME=180, ECM+ABE=180

=> AME = ABE

=> tam giác ABE= tam giác AME

=> AB=AM => tam giác ABM cân tại A

Mà AE là phân giác => AE vuông góc BM

CMTT => AC vuông góc EN

MÀ AC giao BM tại M

=> M là trực tâm tam giác AEN

Vậy M là trực tâm tam giác AEN

c,  Gọi H là giao điểm OE với đường tròn (O) (H khác E) => O là trung điểm của EH

Vì M là trực tâm của tam giác AEN

=> \(EN\perp AN\)

Mà \(OI\perp AN\)(vì I là trung điểm của AC)

=> \(EN//OI\)

MÀ O là trung điểm của EH

=> I là trung điểm của MH (đường trung bình trong tam giác )

=> tứ giác AMNH là hình bình hành 

=> AH=MN

Mà MN=NC

=> AH=NC

=> cung AH= cung NC

=> cung AH + cung KC= cung KN

Mà cung AH+ cung KC = góc KMC(tính chất góc ở giữa 2 cung )

NBK là góc nội tiếp chắn cung KN

=> gócKMC=gócKBN

Hay gócKMC=gócKBM

=> CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK( ĐPCM)

Vậy CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK

Anh Khang nè,e cung cấp hình nha:3

1). Vì MP là đường kính suy ra  P N ⊥ M N  (1).

Vì MD là đường kính suy ra  D N ⊥ M N  (2).

Từ (1) và (2), suy ra N; P; D thẳng hàng.

2) Tứ giác APQD nội tiếp ( P Q D ^ = M A D ^ = 90 0 ),

suy ra  P A Q ^ = P D Q ^ = N D M ^  (3).

Xét (O), ta có  N D M ^ = N A M ^  (4).

Từ (3) và (4)  P A Q ^ = N A P ^ , suy ra AP là phân giác của góc  N A Q ^  (*).

Xét (O), ta có  A N D ^ = A M D ^ .

Xét đường tròn đường kính MP có  Q M P ^ = Q N P ^ ⇒ A N P ^ = Q N P ^ , nên NP là phân giác của góc ANQ (**).

Từ (*) và (**), suy ra P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ANQ

a: góc OBE+góc OCE=180 độ

=>OBEC nội tiếp

b: Xét ΔEBD và ΔEAB có

góc EBD=góc EAB

góc BED chung

=>ΔEBD đồng dạng với ΔEAB

=>EB/EA=ED/EB

=>EB^2=EA*ED