\(\int\frac{1+sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx\)

\(=\int\frac{sin^2x+cos^2x+2sinxcosx+cos^2x-sin^2x}{sinx+cosx}dx\)

\(=\int\frac{\left(sinx+cosx\right)^2+\left(cosx-sinx\right)\left(cosx+sinx\right)}{sinx+cosx}dx\)

\(=\int\left(sinx+cosx+cosx-sinx\right)dx=\int2cosxdx=2sinx\)

bạn tự thay cận vào nhé

@Nguyễn Việt Lâm giúp em với ạ

a.

\(sinx+cosx+\left(sinx+cosx\right)^2+cos^2x-sin^2x=0\)

\(\Leftrightarrow sinx+cosx+\left(sinx+cosx\right)^2+\left(cosx-sinx\right)\left(sinx+cosx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)\left(1+2cosx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\\1+2cosx=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0\\cosx=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\x=\pm\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

1.

\(sin2x=sinx\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=x+k2\pi\\2x=\pi-x+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=\frac{\pi}{3}+\frac{k2\pi}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\left\{0;2\pi;\frac{\pi}{3};\pi;\frac{5\pi}{3}\right\}\Rightarrow\sum x=...\)

2.

Từ đường tròn lượng giác, ta thấy để pt có 2 nghiệm pb thuộc khoảng đã cho \(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}\le\frac{m}{2}< 1\Leftrightarrow\sqrt{3}\le m< 2\)

\(\frac{sinx}{1+cosx}+\frac{1+cosx}{sinx}=\frac{sin^2x+\left(1+cosx\right)^2}{sinx\left(1+cosx\right)}\)

\(=\frac{sin^2x+cos^2x+1+2cosx}{sinx\left(1+cosx\right)}=\frac{2+2cosx}{sinx\left(1+cosx\right)}\)

\(=\frac{2\left(1+cosx\right)}{sinx\left(1+cosx\right)}=\frac{2}{sinx}\)

- Với \(0< x< \pi\) \(\Rightarrow sinx>0\)

Pt trở thành: \(\frac{sinx}{sinx}=cosx-\frac{1}{2}\Leftrightarrow cosx=\frac{3}{2}>1\) (vô nghiệm)

- Với \(\pi< x< 2\pi\Rightarrow sinx< 0\)

Pt trở thành:

\(\frac{-sinx}{sinx}=cosx-\frac{1}{2}\Leftrightarrow cosx=-\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x=\frac{4\pi}{3}\)

\(\sqrt{\frac{1+sinx}{1-sinx}}+\sqrt{\frac{1-sinx}{1+sinx}}=\sqrt{\frac{sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}}{sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}-2sin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}}}+\sqrt{\frac{sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}-2sin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}}{sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}.cos\frac{x}{2}}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}\right)^2}{\left(sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}\right)^2}}+\sqrt{\frac{\left(sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}\right)^2}{\left(sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}\right)^2}}=\frac{\left|sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}\right|}{\left|sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}\right|}+\frac{\left|sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}\right|}{\left|sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}\right|}\)

\(=\frac{\left(sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}\right)^2+\left(sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}\right)^2}{\left|sin^2\frac{x}{2}-cos^2\frac{x}{2}\right|}=\frac{2}{\left|cosx\right|}\)

Đây nè:

Câu hỏi của Julian Edward - Toán lớp 11 | Học trực tuyến

Câu hỏi của Julian Edward - Toán lớp 11 | Học trực tuyến

d/

Đặt \(sinx-cosx=\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\) \(\Rightarrow\left|t\right|\le\sqrt{2}\)

\(t^2=1-2sinx.cosx\Rightarrow sinx.cosx=\frac{1-t^2}{2}\)

Pt trở thành:

\(6t-1=\frac{1-t^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow t^2+12t-3=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\sqrt{39}-6\\t=-\sqrt{39}-6< -\sqrt{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\) (ủa giáo viên ra đề ngẫu nhiên à?)

\(\Rightarrow sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{39}-6}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\frac{\pi}{4}=arcsin\left(\frac{\sqrt{39}-6}{\sqrt{2}}\right)+k2\pi\\x-\frac{\pi}{4}=\pi-arcsin\left(\frac{\sqrt{39}-6}{\sqrt{2}}\right)+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=...\)