cái này mà là toán lớp 10 à ?? ?

Oh my god!

Nhìn đề mà méo hiểu gì đang xảy ra ở thế giới này!

\(B=1!+2.2!+3.3!+...+k.k!\)

\(=1!+\left(3-1\right)2!+\left(4-1\right)3!+...+\left(k+1-1\right)k!\)

\(=1!+3!-2!+4!-3!+...+\left(k+1\right)!-k!\)

\(=\left(k+1\right)!-1\)

\(C=\frac{2-1}{2!}+\frac{3-1}{3!}+\frac{4-1}{4!}+...+\frac{n-1}{n!}\)

\(=\frac{2}{2!}-\frac{1}{2!}+\frac{3}{3!}-\frac{1}{3!}+\frac{4}{4!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{n}{n!}-\frac{1}{n!}\)

\(=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)!}-\frac{1}{n!}\)

\(=1-\frac{1}{n!}\)

2.

Với \(n=0\Rightarrow1\ge\frac{1}{2}\) đúng

Với \(n=1\Rightarrow1\ge1\) đúng

Giả sử BĐT đúng với \(n=k\ge2\) hay \(k!\ge2^{k-1}\)

Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay \(\left(k+1\right)!\ge2^k\)

Thật vậy, ta có:

\(\left(k+1\right)!=k!\left(k+1\right)\ge2^{k-1}.\left(k+1\right)>2^{k-1}.2=2^k\) (đpcm)

\(\Leftrightarrow\dfrac{u_{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{u_n}{n}\)

Đặt \(\dfrac{u_n}{n}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{1}{3}\\v_{n+1}=\dfrac{1}{3}v_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội \(\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow v_n=\dfrac{1}{3}.\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\)

\(S=\sum\limits^{10}_{k=1}\left(\dfrac{1}{3}\right)^k=\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{3^{10}}\right)}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3^{10}}\right)\)

Dvddfdfdc

Ccd