Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(\sqrt{3x\left(2x+y\right)}+\sqrt{3y\left(2y+x\right)}\le\frac{3x+2x+y}{2}+\frac{3y+2y+x}{2}=\frac{6\left(x+y\right)}{2}=3\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y}{3\left(x+y\right)}=\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y

neu de bai bai 1 la tinh x+y thi mik lam cho

đăng từng này thì ai làm cho 

Áp dụng bđt \(\frac{m^2}{p}+\frac{n^2}{q}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{p+q}\) được

\(P=\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\left(a+b\right)^2\)

Dấu "=" khi ay = bx

a) Từ đề bài có: \(x\left(x-1\right)\le0\Rightarrow x^2\le x\)

Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế suy ra:

\(M=x+y+z-3\ge x^2+y^2+z^2-3=-2\)

Đẳng thức xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;1) và các hoán vị của nó

Is it true?

\(4\le\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}+1\le\sqrt{2\left(x+y\right)}+\frac{x+y}{2}+1\)

\(\Leftrightarrow\)\(8\le x+y+2\sqrt{x+y}\sqrt{2}+2=\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\ge\sqrt{8}\)

\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge\left(\sqrt{8}-\sqrt{2}\right)^2=2\)

\(\Rightarrow\)\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

Tham khảo tại đây: Câu hỏi của dbrby - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

B tự c/m BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\)nhé.

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Áp dụng :

\(x^4+y^4+z^4\ge\frac{1}{3}.\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{1}{3}.\left[\frac{1}{3}.\left(x+y+z\right)^2\right]^2=\frac{1}{27}.\left(x+y+z\right)^4=\frac{1}{27}.2^4=\frac{16}{27}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

KL:...

vận dụng bất đẳng thức x^2+y^2+z^2 \(\ge\) (x+y+z)^2/3