a: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔABE vuông tại E và ΔHCE vuông tại E có 

\(\widehat{ABE}=\widehat{HCE}\)

Do đó: ΔABE\(\sim\)ΔHCE

Suy ra: AB/HC=BE/CE

hay \(AB\cdot CE=BE\cdot HC\)

a) Ta có  AD là đường cao của △ABC (gt) 

=> AD⊥BC => \(\widehat{CDA} = 90^o\)

Tương tự ta có \(\widehat{CEB}=90^o \)

Tứ giác CEHD có : \(\widehat{CDA} + \widehat{CEB} = 90^o + 90^o = 180^o \) => Tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp => 4 điểm C,H,D,E cùng thuộc 1 đường tròn 

b) △AEH và △ADC , có  

\(\begin{cases} \widehat{AEH}=\widehat{ADC}=90^o\\ \widehat{CAD} ( góc chung ) \end{cases} \)=> △AEH đồng dạng với △ADC ( g.g) 

=> \(\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AH}{AC} \) ( tỉ số đồng dạng ) => AE.AC = AH.AD (1)

Ta có \(\widehat{AFC} = 90^o \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 

△AFC vuông tại F , có FE là đường cao ( BF ⊥ AC tại E ) => \(AF^2\) = AE.AC ( hệ thức lượng ) (2) 

Từ (1) và (2) => \(AF^2= AH.AD\)

a,  ta có BM , CN là các đường cao \(=>\angle\left(BMC\right)=\angle\left(CNB\right)=90^o\)(1)

mà N,M là 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác BNMC

\(=>\) tứ giác BMNC nội tiếp đường tròn 

=>4 điểm B,M,N,C cùng thuộc 1 đường tròn

b, có AD là đường kính (O) =>tam giác ACD nội tiếp (O)

\(=>\angle\left(ACD\right)=90^o\)(2)

từ(1)(2) \(=>BM//CD=>BH//CD\left(3\right)\)

tương tự =>tam giác ABD nội tiếp (O)\(=>\angle\left(ABD\right)=90^o\left(4\right)\)

từ(1)(4) \(=>BD//CN< =>CH//BD\left(5\right)\)

từ(3)(5)=>BHCD là hình bình hành

a) Ta có: \(\widehat{CFB}=90^0\)(CF⊥AB)

nên F nằm trên đường tròn đường kính CB(Định lí)(1)

Ta có: \(\widehat{CEB}=90^0\)(BE⊥AC)

nên E nằm trên đường tròn đường kính CB(Định lí)(2)

Từ (1) và (2) suy ra F,E cùng nằm trên đường tròn đường kính CB

hay B,E,F,C cùng thuộc một đường tròn(đpcm)

Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC là trung điểm của CB

b) Ta có: BEFC là tứ giác nội tiếp(cmt)

nên \(\widehat{EFC}=\widehat{EBC}\)(Cùng nhìn cạnh EC)

\(\Leftrightarrow\widehat{KFC}=\widehat{KBE}\)

Xét ΔKFC và ΔKBE có 

\(\widehat{FKB}\) chung

\(\widehat{KFC}=\widehat{KBE}\)(cmt)

Do đó: ΔKFC∼ΔKBE(g-g)

⇒\(\dfrac{KF}{KB}=\dfrac{KC}{KE}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒\(KE\cdot KF=KB\cdot KC\)(đpcm)

a. Xét tứ giác AEHF có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HFA}=90^o\\\widehat{HEA}=90^o\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\widehat{HFA}+\widehat{HEA}=180^o\)\(\Rightarrow\)Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính HA

Tương tự ta có, xét tứ giác BCEF có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BFC}=90^o\\\widehat{BEC}=90^o\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\widehat{BFC}+\widehat{BEC}=180^o\)\(\Rightarrow\) Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC

b. Xét đường tròn (O;R) có: \(\widehat{CNM}=\widehat{CBM}\) (cùng nhìn \(\stackrel\frown{CM}\))

Xét tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn ta có: \(\widehat{CFE}=\widehat{CBE}\) (cùng nhìn \(\stackrel\frown{CM}\))

\(\Rightarrow\widehat{CNM}=\widehat{CFE}\) (ở vị trí đồng vị)

\(\Rightarrow\)MN//EF (đpcm)

a: Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)

Do đó: AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BCEF có

\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

Do đó: BCEF là tứ giác nội tiếp

1) Xét tứ giác BCEF có 

\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)

nên BCEF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

hay B,C,E,F cùng thuộc một đường tròn(đpcm)

a) Ta có: \(\widehat{BFC}=90^0\)(CF\(\perp\)AB)

nên F nằm trên đường tròn đường kính BC(Định lí)(1)

Ta có: \(\widehat{BEC}=90^0\)(BE\(\perp\)AC)

nên E nằm trên đường tròn đường kính BC(Định lí)(2)

Từ (1) và (2) suy ra F,E cùng nằm trên đường tròn đường kính BC

hay B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn(đpcm)