Đặt \(x=2a;y=-5b\)

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:

\(\left(x^2+y^2\right)\left(9+1\right)\ge\left(3x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(3x+y\right)^2}{10}=\frac{\left(6a-5b\right)^2}{10}=\frac{1}{10}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{3}{x}=\frac{1}{y}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{3}{20}\\b=\frac{-1}{50}\end{cases}}\)

Vậy GTNN của \(4a^2+25b^2=\frac{1}{10}\) tại \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{3}{20}\\b=\frac{-1}{50}\end{cases}}\)

c/ Ta có:\(6a-5b=1\)

\(\Rightarrow5b=6a-1\)

Theo đề thì: \(A=4a^2+\left(6a-1\right)^2=40a^2-12a+1\)

\(=\left(\left(2\sqrt{10}a\right)^2-\frac{2.2.\sqrt{10}.3a}{\sqrt{10}}+\frac{9}{10}\right)+\frac{1}{10}\)

\(=\left(2\sqrt{10}a-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2+\frac{1}{10}\ge\frac{1}{10}\)

còn câu a,b nữa a ơi :((

Đặt x = 2a; y = -5b.

Áp dụng đẳng thức Bunhiacopski ta có:

\(\left(3x+y\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(9+1\right)\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{10}\)

Hay: \(4a^2+25b^2\ge\frac{1}{10}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{3}{x}=\frac{1}{y}\Leftrightarrow3y=x\Leftrightarrow-15b=2a\Leftrightarrow6a=-45b\)

\(\Leftrightarrow b=-\frac{1}{50};a=\frac{3}{20}\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(H^2=(6a-5b)^2\leq [(2a)^2+(-5b)^2](3^2+1^2)=10(4a^2+25b^2)\)

\(\leq 10.10=100\)

\(\Rightarrow H\leq 10\)

Vậy $H_{\max}=10$. Giá trị này đạt tại \(\left\{\begin{matrix} 4a^2+25b^2=10\\ \frac{2a}{3}=-\frac{5b}{1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}; y=-\frac{1}{5}\)

Bạn rút ra \(2a=\frac{5b+1}{3}\)

Sau đó thế vào \(4a^2+25b^2=\left(2a\right)^2+\left(5b\right)^2\)

Được : \(\frac{50b^2+10b+1}{9}=\frac{2\left[\left(5b^2\right)+5b\right]+1}{9}\)

=\(\frac{2\left[\left(5b^2\right)+2\cdot\frac{5}{2}b^{ }+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}\right]+1}{9}\)

=\(\frac{2\left[5b+\frac{25}{2}\right]^2-\frac{23}{2}}{9}\ge\frac{-\frac{23}{2}}{9}=\frac{-23}{18}\)

Dấu = khi b=-5/2 và a=-23/12

6a - 5b = 1 | 60 - 50 = 10 vậy chỉ có a là 0 | b là 9 

4a² + 25b² = 40² + 259² = 1.600 + 67.081 = 68.681

vậy cho nên giá trị nhỏ nhất của 4a² + 25b² là 

                                           68.681

tích mình trước ik , mình sẽ giải qua tin nhắn  cho !