\(\Delta_1'=b^2-ac\) ; \(\Delta_2'=c^2-ab\) ; \(\Delta_3'=a^2-bc\)

\(\Rightarrow\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b-c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(c-a\right)^2\ge0\) ; \(\forall a;b;c\)

\(\Rightarrow\) Tồn tại ít nhất 1 trong 3 giá trị \(\Delta_1';\Delta_2';\Delta_3'\) không âm

\(\Rightarrow\) Ít nhất 1 trong 3 pt nói trên có nghiệm

Ta có: \(\Delta1=\left(2b\right)^2-4ac=4b^2-4ac\)

\(\Delta2=\left(2c\right)^2-4ab=4c^2-4ab\)

\(\Delta3=\left(2a\right)^2-4bc=4a^2-4bc\)

\(\Rightarrow\Delta=\Delta1+\Delta2+\Delta3=4b^2-4ac+4c^2-4ab+4a^2-4bc\)

\(=2\left(2b^2-2ac+2c^2-2ab+2a^2-2bc\right)\)

\(=2\left(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\right)\)

\(=2\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)

                                               Vậy với mọi a,b,c thì ít nhất một trong các pt sau có nghiệm

ax^2 + 2bx + c = 0 (1) 
bx^2 + 2cx + a = 0 (2) 
cx^2 + 2ax + b = 0 (3) 
Xét: 
Δ1 = b² - ac 
Δ2 = c² - ab 
Δ3 = a² - bc 
ta có 2(Δ1+ Δ2 + Δ3) 
= 2(b² - ac) + (c² - ab) + (a² - bc) 
= (a² - 2ab + b² ) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ac + a²) 
= (a - b)² + (b - c)² + (a - c)² ≥ 0 
=> Δ1+ Δ2 + Δ3 ≥ 0 
=> trong 3Δ: Δ1;Δ2; Δ3 phải có ít nhất 1Δ ≥ 0 
Vậy ít nhất 1phương trình có nghiệm => đpcm

khó quá

* Giả sử cả 3 pt đều có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ta có : 

pt \(x^2-2ax+b=0\) (1) có \(\Delta_1'=\left(-a\right)^2-b=a^2-b\le0\)

pt \(x^2-2bx+c=0\) (2) có \(\Delta_2'=\left(-b\right)^2-c=b^2-c\le0\)

pt \(x^2-2cx+a=0\) (3) có \(\Delta_3'=\left(-c\right)^2-a=c^2-a\le0\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta_1'+\Delta_2'+\Delta_3'=\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)\le0\) (*) 

Lại có : \(0< a,b,c< 3\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a\left(3-a\right)>0\\b\left(3-b\right)>0\\c\left(3-c\right)>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a>a^2\\3b>b^2\\3c>c^2\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\)\(\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)< 3\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c\right)=6>0\)

trái với (*) 

Vậy có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân biệt 

cái kia chưa bt làm -_- 

Câu hỏi của Trần Hà My - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Bạn tham khảo link này nhé!

bạn cho câu hỏi dễ thế

Lời giải:

Phản chứng. Giả sử PT đã cho không có nghiệm nào với mọi số thực $a,b,c$.

Điều này tương đương với các PT con

\((1):ax^2+2bx+c=0; (2):bx^2+2cx+a=0;(3): cx^2+2ax+b=0\)không có nghiệm với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta'_1=b^2-ac< 0\\ \Delta'_2=c^2-ab< 0\\ \Delta'_3=a^2-bc< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow b^2-ac+c^2-ab+a^2-bc< 0\)

\(\Leftrightarrow 2b^2-2ac+2c^2-2ab+2a^2-2bc< 0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2< 0\) (vô lý với mọi $a,b,c$ thực)

Vậy điều giả sử là sai. Nghĩa là pt đã cho luôn có nghiệm với mọi $a,b,c\in\mathbb{R}$