Ta có \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1>0,\forall x\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\left(x-1\right)>x^2-2x+1,\forall x\in\left(0;1\right)\) (*)

Vì \(x\in\left(0;1\right)\Rightarrow x-1< 0\) nên (*) \(\Leftrightarrow-2m< \dfrac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1=g\left(x\right),\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\le g\left(0\right)=-1\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)

Có cách nào khác nx ạ?

Muốn một tam thức bậc 2 nhỏ hơn 0 với mọi x thì hệ số a phải nhỏ hơn 0 và Δ < 0 luôn

Cơ mà 1 > 0 rồi nên không có m thoả mãn

Để f(x)<0

`<=>a<0,\Delta<0`

`<=>1<0` vô lý.

Vậy BPT vô nghiệm

Chọn C

Ta có bất phương trình  x²- 3x+ 2≤ 0 khi và chỉ khi 1≤ x≤ 2

Yêu cầu bài toán tương đương với bất phương trình:

mx²-2( 2m+1) x+ 5m+3≤0 (1)

có nghiệm x: 1≤ x≤ 2

+ Ta đi tìm m  để bất phương trình (1) vô nghiệm trên S

Tức là bpt f( x) = mx²-2( 2m+1) x+ 5m+3< 0 (2)

đúng với mọi x ∈ S

+ Nếu m= 0 (2) trờ thành: -2x+ 3≤0 hay x> 3/2  nên (2) không đúng với mọi x ∈ S

+ Nếu m≠ 0 tam thức f(x)  có hệ số a= m, biệt thức ∆’ = -m²+m+ 1

Bảng xét dấu:

Ta có bất phương trình  x 2  - 3x + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2.

Yêu cầu bài toán tương đương với bất phương trình:

m x 2  – 2(2m + 1)x + 5m + 3 ≤ 0 (1) có nghiệm x ∈ S = [1;2].

Ta đi giải bài toán phủ định là: Tìm m để bất phương trình (1) vô nghiệm trên S

Tức là bất phương trình f(x) = m x 2  - 2(2m + 1)x + 5m + 3 < 0 (2) đúng với mọi x ∈ S.

• m = 0 ta có (2) -2x + 3 < 0 ⇔ x > 3/2 nên (2) không đúng với ∀x ∈ S

• m ≠ 0 tam thức f(x) có hệ số a = m, biệt thức Δ' = - m 2  + m + 1

Bảng xét dấu

\(y'=4mx^3+2mx=2mx\left(2x^2+1\right)\)

Do \(2x\left(x^2+1\right)>0\) ;\(\forall x>0\)

\(\Rightarrow y'\ge0\) ;\(\forall x>0\) khi và chỉ khi \(m>0\)

Δ=(m+1)^2-4(2m-8)

=m^2+2m+1-8m+32

=m^2-6m+33

=(m-3)^2+24>=24

=>Phương trình luôn có hai nghiệm pb

x1^2+x2^2+(x1-2)(x2-2)=11

=>(x1+x2)^2-2x1x2+x1x2-2(x1+x2)+4=11

=>(m+1)^2-(2m-8)-2(m+1)+4=11

=>m^2+2m+1-2m+8-2m-2-7=0

=>m^2-2m-8=0

=>(m-4)(m+2)=0

=>m=4 hoặc m=-2

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+2m\right)=1>0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1=m+1-1=m\\x_2=m+1+1=m+2\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1\right|=3\left|x_2\right|\Leftrightarrow\left|m\right|=3\left|m+2\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3m+6=-m\\3m+6=m\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{3}{2}\\m=-3\end{matrix}\right.\)