1/ Ta có xy=-6

Với x=-6 => y=1

x=-3 => y=2 

x= -2 => y=3

x=-1 => y=6

2/ Ta có x=y+4 

Thay x=y+4 vào bt, ta được 

<=> y+4-3/y-2 =3/2

<=> y+1/y-2=3/2

<=> 2(y+1)=3(y-2)

<=> 2y +2 = 3y - 6

<=> 3y - 2y= 2+ 6

<=> y= 8 <=> x= 12

3/ -4/8 = x/-10 <=> x= (-4)*(-10)/8=5

-4/8 = -7/y <=> y=(-7)*8/(-4) =14

-4/8 = z/-24 <=> z= (-4)*(-24)/8=12

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{16}{a+b+c+d}\) ta có: 

\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\)

\(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\)

\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(16\left(\frac{1}{2x+3y+3z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}\right)\)

\(\le4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)=4\cdot12=48\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+3y+3z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}\le3\)

các bạn có thể giúp mình giải bài toán này  bằng bất đẳng thức \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\le\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)

Má mày giúp tao bài tao gửi đii:(

Ta có bất đẳng thức: với \(x,y>0\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Dấu \(=\)khi \(x=y\).

Áp dụng bất đẳng thức trên ta được: 

\(\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+2z}\right)\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y+z}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{y+z}\right)\)

Tương tự với \(\frac{1}{3x+2y+3z},\frac{1}{3x+3y+2z}\)sau đó cộng lại vế với vế ta được: 

\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=3\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{8}\)

7x−3y+122y=y+2zz−3y+2=x−y=7x−7y=12−3y9y=4−y3y=2z+4z+2=27x−3y+122y=y+2zz−3y+2=x−y=7x−7y=12−3y9y=4−y3y=2z+4z+2=2

Phân thức thứ 5 trong dãy xuất hiện bằng cách thực hiện phép trừ tử - mẫu tương ứng của phân thức thứ 1 cho phân thức thứ 4.

Phân thức thứ 7 là kết quả của phép cộng tương ứng tử mẫu phân thức thứ 2 và thứ 6

⇒4−y3y=2⇒4−y=6y⇒7y=4⇒y=47⇒4−y3y=2⇒4−y=6y⇒7y=4⇒y=47

x−y=2⇒x=−2y⇒x=−2.47=−87x−y=2⇒x=−2y⇒x=−2.47=−87

y+2zz−3y+2=2z+47z−127+2=2z+47z+27=2⇒y+2zz−3y+2=2z+47z−127+2=2z+47z+27=2⇒ luôn đúng ∀z≠−27∀z≠−27

Vậy ta có x=−87;y=47;z≠−27x=−87;y=47;z≠−27

 7x−3y+12

2y=y+2zz−3y+2=x−y=7x−7y=12−3y9y=4−y3y=2z+4z+2=27x−3y+122y=y+2zz−3y+2=x−y=7x−7y=12−3y9y=4−y3y=2z+4z+2=2

Phân thức thứ 5 trong dãy xuất hiện bằng cách thực hiện phép trừ tử - mẫu tương ứng của phân thức thứ 1 cho phân thức thứ 4.

Phân thức thứ 7 là kết quả của phép cộng tương ứng tử mẫu phân thức thứ 2 và thứ 6

⇒4−y3y=2⇒4−y=6y⇒7y=4⇒y=47⇒4−y3y=2⇒4−y=6y⇒7y=4⇒y=47

x−y=2⇒x=−2y⇒x=−2.47=−87x−y=2⇒x=−2y⇒x=−2.47=−87

y+2zz−3y+2=2z+47z−127+2=2z+47z+27=2⇒y+2zz−3y+2=2z+47z−127+2=2z+47z+27=2⇒ luôn đúng ∀z≠−27∀z≠−27

Vậy ta có x=−87;y=47;z≠−27x=−87;y=47;z≠−27

Câu kiểu này xuất hiện mấy năm rồi mà không thấy ai làm :D

\(\dfrac{7x-3y+12}{2y}=\dfrac{y+2z}{z-3y+2}=\dfrac{x}{-y}=\dfrac{7x}{-7y}=\dfrac{12-3y}{9y}=\dfrac{4-y}{3y}=\dfrac{2z+4}{z+2}=2\)

Phân thức thứ 5 trong dãy xuất hiện bằng cách thực hiện phép trừ tử - mẫu tương ứng của phân thức thứ 1 cho phân thức thứ 4.

Phân thức thứ 7 là kết quả của phép cộng tương ứng tử mẫu phân thức thứ 2 và thứ 6

\(\Rightarrow\dfrac{4-y}{3y}=2\Rightarrow4-y=6y\Rightarrow7y=4\Rightarrow y=\dfrac{4}{7}\)

\(\dfrac{x}{-y}=2\Rightarrow x=-2y\Rightarrow x=-2.\dfrac{4}{7}=\dfrac{-8}{7}\)

\(\dfrac{y+2z}{z-3y+2}=\dfrac{2z+\dfrac{4}{7}}{z-\dfrac{12}{7}+2}=\dfrac{2z+\dfrac{4}{7}}{z+\dfrac{2}{7}}=2\Rightarrow\) luôn đúng \(\forall z\ne\dfrac{-2}{7}\)

Vậy ta có \(x=\dfrac{-8}{7};y=\dfrac{4}{7};z\ne\dfrac{-2}{7}\)

Cho em hỏi vì sao 12-3y/9y lại bằng biểu thức trên đc ko ạ?

Cảm ơn @Nguyễn Việt Lâm

bạn ơi hình như có chút sai đề

Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:

\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(x+y+z\right)+3\left(x+y+z\right)}=1\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)

Áp dụng BĐT AM - GM cho 2 số dương, ta được: \(\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{1}{36}\left(x+2y+3z\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+2y+3z}.\frac{1}{36}\left(x+2y+3z\right)}=\frac{1}{3}x\Rightarrow\frac{x^2}{x+2y+3z}\ge\frac{11}{36}x-\frac{1}{18}y-\frac{1}{12}z\)Tương tự, ta có: \(\frac{y^2}{y+2z+3x}\ge\frac{11}{36}y-\frac{1}{18}z-\frac{1}{12}x\); \(\frac{z^2}{z+2x+3y}\ge\frac{11}{36}z-\frac{1}{18}x-\frac{1}{12}y\)

Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức trên, ta được: \(G=\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{y^2}{y+2z+3x}+\frac{z^2}{z+2x+3y}\ge\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)=1\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2