Ta có

\(\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}\)

\(\Leftrightarrow2a.\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+b.\frac{1}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+c.\frac{1}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

\(\Leftrightarrow2a.\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+2b.\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right).4.\left(b+c\right)}}+2c.\frac{1}{\sqrt{\left(a+c\right).4.\left(b+c\right)}}\)

\(\le\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{4\left(b+c\right)}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{4\left(b+c\right)}\)

\(=1+1+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)

Xem lại đề nhé

Bài toán quy về 2 bài toán nhỏ hơn!

Cho các số dương ab + bc +ca = 1. 

a) Tìm Max: \(M=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)

(Lời giải tại: Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi. Bài làm của anh Thắng, trong lời giải có phần giống với đề bên trên.)

b) Tìm Min: \(N=a^2+28b^2+28c^2\)

Có: \(N=\frac{1}{4}\left(2a-7b-7c\right)^2+\frac{63}{4}\left(b-c\right)^2+7\left(ab+bc+ca\right)\ge7\left(ab+bc+ca\right)=7\)

Từ đó tìm được \(P\le\frac{9}{4}-7=-\frac{19}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=\frac{7}{\sqrt{15}};b=c=\frac{1}{\sqrt{15}}\)

Với ab + bc + ca = 1 và áp dụng BĐT AM - GM, ta được:

\(\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)\(\frac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)

\(=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

\(=\sqrt{\frac{2a}{a+b}.\frac{2a}{a+c}}+\sqrt{\frac{2b}{a+b}.\frac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}.\frac{c}{2\left(b+c\right)}}\)

\(\le\frac{\frac{2a}{a+b}+\frac{2a}{a+c}}{2}+\frac{\frac{2b}{a+b}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}}{2}+\frac{\frac{2c}{a+c}+\frac{c}{2\left(b+c\right)}}{2}\)

\(=\frac{\frac{2\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{2\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{b+c}{2\left(b+c\right)}}{2}=\frac{2+2+\frac{1}{2}}{2}=\frac{9}{4}\)(*)

Mặt khác, cũng theo AM - GM, ta có:

 \(\frac{a^2}{2}+\frac{49b^2}{2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{2}.\frac{49b^2}{2}}=7ab\)(1)

\(\frac{a^2}{2}+\frac{49c^2}{2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{2}.\frac{49c^2}{2}}=7ac\)(2)

\(\frac{7}{2}\left(b^2+c^2\right)\ge\frac{7}{2}.2\sqrt{b^2c^2}=7bc\)(3)

Cộng theo từng vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:

\(\frac{2a^2+56b^2+56c^2}{2}\ge7\left(ab+bc+ca\right)=7\)

hay \(a^2+28b^2+28c^2\ge7\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra \(P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}-a^2-28b^2-28c^2\)

\(\le\frac{9}{4}-7=\frac{-19}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=\frac{7}{\sqrt{15}};b=c=\frac{1}{\sqrt{15}}\)

Với \(a^2+b^2+c^2=1\), ta có: \(\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2+ab-c^2}}\)

\(=\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(ab+2c^2\right)\left(a^2+b^2+ab\right)}}\)

\(\ge\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(ab+2c^2\right)+\left(a^2+b^2+ab\right)}{2}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(a^2+b^2\right)+2ab+2c^2}{2}}\)

\(\ge\text{​​}\Sigma\text{​​}\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+b^2\right)+2c^2}{2}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}}\)

\(=\Sigma\left(ab+2c^2\right)=2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca\)

\(=2+ab+bc+ca\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

câu bất này dễ mà Việt Anh

nhưng mình kém lắm

ko làm đc

giúp đi

\(VT=\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+ab+b^2}}+\sqrt{\frac{bc+2a^2}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{ca+2b^2}{c^2+ca+a^2}}\)

\(=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+ab+b^2\right)\left(ab+2c^2\right)}}+\frac{bc+2a^2}{\sqrt{\left(b^2+bc+c^2\right)\left(bc+2a^2\right)}}+\frac{ca+2b^2}{\sqrt{\left(c^2+ca+a^2\right)\left(ca+2b^2\right)}}\)

\(\ge\frac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2c^2+2ab}+\frac{2\left(bc+2a^2\right)}{2a^2+b^2+c^2+2bc}+\frac{2\left(ca+2b^2\right)}{a^2+2b^2+c^2+2ca}\)

\(\ge\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{bc+2a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{ca+2b^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+bc+ca+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=2+ab+bc+ca=VP\) (Do a² + b² + c² = 1) => ĐPCM.

Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}.\)

chăc là .............................. điền đi sẽ biếc a you ok ?

ta có \(\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{1+ab-c^2}.\sqrt{ab+2c^2}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{1+ab-c^2}\sqrt{ab+2c^2}}\)

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có 

\(\sqrt{ab+1-c^2}\sqrt{ab+2c^2}\le\frac{1}{2}\left(ab+1-c^2+ab+2c^2\right)=\frac{1}{2}\left(2ab+1+c^2\right)\) 

=\(\frac{1}{2}\left(2ab+a^2+b^2+2c^2\right)=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)^2+2c^2\right]\le\frac{1}{2}\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)\) =1

=> \(\frac{ab+2c^2}{...}\ge\frac{ab+2c^2}{1}=2c^2+ab\)

tương tự + vào thì e sẽ ra điều phải chứng minh

Nhà hàng Tôm hùm kính chào quý khách ĐC : 255 Nguyễn Huệ, Q tân bình , TP HCM

Lời giải:
Vì $ab+bc+ac=1$ nên:

$a^2+1=a^2+ab+bc+ac=(a+b)(b+c)$

$b^2+1=b^2+ab+bc+ac=(b+a)(b+c)$

$c^2+1=c^2+ab+bc+ac=(c+a)(c+b)$

Do đó, áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\)

\(\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{b+a}{b+a}+\frac{c+b}{c+b}+\frac{a+c}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Lời giải:
Vì $ab+bc+ac=1$ nên:

$a^2+1=a^2+ab+bc+ac=(a+b)(b+c)$

$b^2+1=b^2+ab+bc+ac=(b+a)(b+c)$

$c^2+1=c^2+ab+bc+ac=(c+a)(c+b)$

Do đó, áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\)

\(\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{b+a}{b+a}+\frac{c+b}{c+b}+\frac{a+c}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)