Trần Huy tâm: Nếu đề sửa như bạn nói thì làm ntn nha:

Theo bài ra ta có:

\(2(a^3+b^3+c^3)=a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)\)

\(\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3)=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\)

\(\Leftrightarrow [a^3+b^3-ab(a+b)]+[b^3+c^3-bc(b+c)]+[c^3+a^3-ca(c+a)]=0\)

\(\Leftrightarrow [a^2(a-b)-b^2(a-b)]+[b^2(b-c)-c^2(b-c)]+[c^2(c-a)-a^2(c-a)]=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)+(b-c)^2(b+c)+(c-a)^2(c+a)=0\)

Ta thấy với mọi $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác thì $(a-b)^2(a+b); (b-c)^2(b+c); (c-a)^2(c+a)\geq 0$

Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì $(a-b)^2(a+b)=(b-c)^2(b+c)=(c-a)^2(c+a)=0$

$\Rightarrow (a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0$ (do $a+b,b+c,c+a\neq 0$)

$\Rightarrow a=b=c$

Hay tam giác $ABC$ đều. Ta có đpcm.

Bạn xem lại đề xem có thiếu điều kiện gì không? 2 vế trong ĐKĐB không cùng bậc nên nếu không có thêm đk gì thì làm sao chứng minh được tam giác đều?

bđt tam giác:

\(\hept{\begin{cases}a+b>c\Leftrightarrow ac+bc>c^2\\b+c>a\Leftrightarrow ab+ac>a^2\\a+c>b\Leftrightarrow ab+bc>b^2\end{cases}}\)

Cộng theo vế: \(2\left(ab+bc+ac\right)>a^2+b^2+c^2\)

do (a-b)²\(\ge\)0 ;(b-c)²\(\ge\)0

\(\Rightarrow\)(a-b)²+(b-c)²\(\ge\)0

mà (a-b)²+(b-c)²=0 (đề bài cho)

\(\Rightarrow\)(a-b)²=0;(b-c)²=0

\(\Rightarrow\)a-b=b-c=0

\(\Rightarrow\)a=b=c

Vậy tam giác ABC đều

Số học cơ mà