a: vecto DE

=vecto DA+vecto AE

=-2vecto AB+2/5*vecto AC

vecto DG=vecto DB+vecto BG

=-2*vecto AB-vecto GB

=-2vecto AB-(-vecto GA-vecto GC)

=-2 vecto AB-(vecto CG-vecto GA)

=-2vecto AB-(vecto CG+vecto AG)

=-2vecto AB+vecto GA+vecto GC

=-2*vecto AB+2*vecto GF

=-2vecto AB+2*1/3*vecto BF

=-2*vecto AB+2/3(vecto BA+vecto BC)

=-2vecto AB-2/3vecto AB+2/3*veto BC

=-8/3vecto AB+2/3*(vecto BA+vecto AC)

=-10/3vecto AB+2/3vecto AC

b: vecto DE=-2vecto AB+2/5vecto AC

vecto DG=-10/3vecto AB+2/3*vecto AC

Vì \(\dfrac{-2}{-\dfrac{10}{3}}=2:\dfrac{10}{3}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{5}:\dfrac{2}{3}\)

nên D,E,G thẳng hàng

1/ \(\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\)

\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AG}\)

Ban tu ket luan

2/ Bạn coi lại đề bài, đẳng thức kia có vấn đề. 2k-1IB??

\(\overrightarrow{IA}+2k-1+\overrightarrow{IB}+k\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=0\)

Ta có:

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GJ}  + \overrightarrow {JC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GJ}  + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {GI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + 2\overrightarrow {GJ}  + \left( {\overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {GI}  + 2\overrightarrow {GJ}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {GJ} } \right) = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {GJ}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \)G là trung điểm của đoạn thẳng IJ

Vậy I, G, J thẳng hàng

Lời giải:

$\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{BN}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM})(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN})$

$=\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AN}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}.\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BA}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}.\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{21}{20}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{4}AC^2-\frac{1}{5}AB^2$

$=\frac{21}{20}\cos A.|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|-\frac{1}{4}AC^2-\frac{1}{5}AB^2$

$=\frac{21}{20}.\frac{1}{2}.5.8-\frac{1}{4}.8^2-\frac{1}{5}.5^2=0$

$\Rightarrow CM\perp BN$

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {AD}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) + \overrightarrow {CE} \) (tính chất giao hoán)

Mà theo quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AE} \)

Vậy \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AE} \) với điểm E bất kì.