Cho \(\frac{1}{2010}\le\frac{a_i}{b_i}\le\frac{1}{2009},\text{ với }a_1,a_2,.....,a_{2000}\text{ và }b_1,b_2,......,b_{2000}\)là các số thực dương. CMR:

\(\frac{1}{2010}\le\frac{a_1+a_2+...+a_{2010}}{b_1+b_2+...+b_{2010}}\le\frac{1}{2009}\)

Cho 40 so nguyên dương \(a_1;a_2;....;a_{19}va:d_1;d_2;...;d_{21}\)

thoa man:\(\hept{\begin{cases}1\le a_1< a_2< ....< a_{19}< 200\\1\le d_1< d_2< ....< d_{21}< 200\end{cases}}\)

cm ton tại 4 so \(a_i;a_j;d_k;d_p\)thoa man:\(a_i< a_j;d_k< d_pva:a_j-a_i=d_p-d_k\)

Cho dãy số \(a_1;a_2;...;a_n\) và số nguyên dương \(k\ge n\)

Chứng minh rằng tồn tại tổng \(\left(a_i+a_{i+1}+...+a_j\right)⋮k\) \(\left(i< j\le n\right)\)

cho hai dãy số cùng chiều \(a_1\le a_2\le a_3;b_1\le b_2\le b_3\)

CMR \(\left(a_1+a_2+a_3\right)\left(b_1+b_2+b_3\right)\le3\left(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\right)\)

cho \(a_1\le a_2\le a_3\) và \(b_1\le b_2\le b_3\)

cmr:\(\dfrac{a_1+a_2}{2}.\dfrac{b_1+b_2}{2}\le\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{2}\)

Cho p là một số nguyên tố và k là số nguyên sao cho : \(1\le k\le p-1\) 

Chứng minh rằng : \(C^k_p⋮p\)

Cho \(a_1\le a_2\le....\le a_n\)  thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}a_1+a_2+a_3+...+a_n=0\\\left|a_1\right|+\left|a_2\right|+\left|a_3\right|+...+\left|a_n\right|=1\end{cases}}\)

CMR: \(a_n-a_1\ge\frac{2}{n}\)

Cho 2016 số nguyên dương \(a_1;a_2;a_3;....;a_{2016}\) thỏa mãn:

\(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+...+\dfrac{1}{a_{2016}}=300\). Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 số trong 2016 số đã cho bằng nhau