• Chứng minh \(\sqrt{p}< \sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\)

Vì \(\sqrt{p}>0\) nên ta có điều tương đương \(p< \left(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow p< \left(3p-a-b-c\right)+2\left(\sqrt{p-a}.\sqrt{p-b}+\sqrt{p-b}.\sqrt{p-c}+\sqrt{p-c}.\sqrt{p-a}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{p-a}.\sqrt{p-b}+\sqrt{p-b}.\sqrt{p-c}+\sqrt{p-c}.\sqrt{p-a}>0\) (luôn đúng)

• Chứng minh \(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{3p}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta được : \(\left(1.\sqrt{p-a}+1.\sqrt{p-b}+1.\sqrt{p-c}\right)^2\le3\left(p-a+p-b+p-c\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{3p}\)

Vậy có đpcm.

Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c})^2\leq (p-a+p-b+p-c)(1+1+1)=3(3p-a-b-c)=3(3p-2p)=3p$

$\Rightarrow \sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\leq \sqrt{3p}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

• Chứng minh \(\sqrt{p}< \sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\left(1\right)\)

Ta biến đổi tương đương : \(\left(1\right)\Leftrightarrow p< \left(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow p< 3p-\left(a+b+c\right)+2\sqrt{p-a}.\sqrt{p-b}+2\sqrt{p-b}.\sqrt{p-c}+2\sqrt{p-c}.\sqrt{p-a}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{p-a}.\sqrt{p-b}+\sqrt{p-b}.\sqrt{p-c}+\sqrt{p-c}.\sqrt{p-a}>0\) (luôn đúng)

• Chứng minh \(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{3p}\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki, ta có \(\left(1.\sqrt{p-a}+1.\sqrt{p-b}+1.\sqrt{p-c}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(3p-a-b-c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\right)^2\le3p\Rightarrow\sqrt{p-a}+\sqrt{p-b}+\sqrt{p-c}\le\sqrt{3p}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => Tam giác ABC là tam giác đều

Lời giải:

Biểu thức không có max mà chỉ có min bạn nhé. Nếu tính min thì làm như sau:

Đặt $x^{10}=a$ với $a\geq 0$

Khi đó: $P=a^{10}-10a+10$

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có:

$a^{10}+\underbrace{1+1+1+...+1}_{9}\geq 10\sqrt[10]{a^{10}}=10a$

$\Leftrightarrow a^{10}+9\geq 10a$

$\Rightarrow P=(a^{10}+9)-10a+1\geq 10a-10a+1=1$

Vậy $P_{\min}=1$ khi $a=1\Leftrightarrow x=\pm 1$

Dạ em cảm ơn ạ

Ta có :\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

         \(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

Mà \(a^2+b^2=c^2\left(Py-ta-go\right)\)

\(\Rightarrow c^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow c^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow2c^2\ge a^2+b^2+2ab\)( Do c²=a²+b²)

\(\Leftrightarrow2c^2\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow c\sqrt{2}\ge a+b\)( ĐPCM ) 

Ta có a+b \(\le\)c√2

<=> (a+b) ²\(\le\)(c√2)²

<=> a²+2ab+b²\(\le\)2c²

<=> a²+2ab+b² \(\le\)2(a²+b²) = 2a²+2b²

<=> 0 \(\le\)a²-2ab+b² = (a-b)² ( luôn đúng)

=> a+b \(\le\)c√2

Đặt \(P=\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)

Ta có:

\(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(a+b\right)\)

Tương tự và cộng lại ta được BĐT bên trái

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Bên phải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(P^2\le3\left(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\right)=6\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Mặt khác do a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\a+c>b\\b+c>a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ac+bc>c^2\\ab+bc>b^2\\ab+ac>c^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)< 6\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow P^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)< 3\left(a^2+b^2+c^2\right)+6\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow P^2< 3\left(a+b+c\right)^2\Rightarrow P< \sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)

thề luôn bài như vầy mà cả viết lẫn nghĩ có 10phut

Do hai tam giác có độ dài 3 cạnh là a,b,c và a',b',c' nên ta có tỷ lệ sau 

\(\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}\)

Đặt \(\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=k\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=k.a'\\b=k.b'\\c=k.c'\end{cases}}\)

Ta có : \(\sqrt{aa'}+\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'}=\sqrt{ka'.a'}+\sqrt{kb'.b'}+\sqrt{kc'.c'}\)

                                                   \(=a'.\sqrt{k}+b'.\sqrt{k}+c'.\sqrt{k}=\sqrt{k}.\left(a'+b'+c'\right)\)

Ta lại có : \(\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a'+b'+c'\right)}=\sqrt{k.\left(a'+b'+c'\right)\left(a'+b'+c'\right)}=\sqrt{k}.\left(a'+b'+c'\right)\)

Vậy ......